REMONTER UNE SUITE ALIQUOTE A L’ENVERS

(UP AN ALIQUOT SEQUENCE IN REVERSE)






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Il est en général très difficile de remonter une suite aliquote à l'envers. Cela prend énormément de temps pour effectuer les calculs. Dans une première partie, nous allons voir que parfois, on ne peut pas remonter une suite aliquote à l'envers, parfois on ne peut le faire que de manière unique et parfois d'une infinité de manières, tout dépend du nombre d'antécédents aliquotes du nombre n à partir duquel on veut remonter. Dans une deuxième partie, on présentera quelques remontées plus "faciles", strictement monotones, utilisant la conjecture de Goldbach.


La remontée à l'envers d'une suite aliquote à partir d'un nombre n dépend de A(n), le nombre d'antécédents de n

Lorsqu’il s’agit de remonter une suite aliquote à l’envers à partir d’un nombre n, plusieurs cas peuvent se présenter. En effet, tout dépend du nombre d’antécédents aliquotes A(n) de n.

Si A(n)=0, il est impossible de remonter la suite aliquote à l’envers à partir de n. On a affaire à une suite aliquote qui démarre sur un nombre intouchable n. Ce type de suite aliquote joue un rôle fondamental.

Si A(n)=1, on peut remonter la suite aliquote à l’envers d’une manière unique à partir de n. Si A(A(n)) vaut aussi 1 et ainsi de suite, on a affaire à un cas très rare : une manière unique de remonter à l’envers à partir de n. Je ne connais pas de tel exemple de plus de 2 ou trois termes, car je n’en ai jamais vraiment cherché étant donné la difficulté de la recherche. Mais l'étude de ces cas ne serait pas dénuée d’intérêt ! On notera aussi l'extrême importance du cas A(n)=1 lorsqu'on a affaire à tous les membres d'une chaîne aliquote : cela fait de cette chaîne aliquote une chaîne aliquote isolée.

Si A(n) > 1, on peut remonter la suite aliquote à l’envers d’un très grand nombre de manières différentes. Ce nombre de manières croit en général de façon exponentielle avec le nombre d’étapes que l’on veut remonter.
Jean-Paul Delahaye reprend l’exemple de la remontée à l’envers à partir de l’entier 6.


On peut remonter une suite aliquote à l'envers assez "facilement", à partir d'un nombre n impair, de manière strictement monotone en utilisant la conjecture de Goldbach

La conjecture de Goldbach est largement expliquée sur cette page : nombre d’antécédents aliquotes.

Expliquons à nouveau très brièvement le principe ici.
Soit n un nombre impair. Par conséquent, n-1 sera pair. Soit N un antécédent aliquote de n.
La conjecture de Goldbach dit que tout nombre pair supérieur à 8 peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers p et q. Il est essentiel ici de prendre p et q distincts et tous deux différents de 2.
Par conséquent, si n-1>8, alors il existe (p,q) tels que p+q=n-1. Mais dans ce cas, on notera que N=pq est un antécédent de n. En effet, les diviseurs stricts de N=pq sont 1, p et q et donc la somme de ces diviseurs est 1+p+q=n.
On notera que si on veut remonter à l'envers par exemple le nombre n=3, n-1=2 est plus petit que 8 et dans ce cas, la conjecture de Goldbach ne garantit pas l'éxistence de p et de q. Heureusement, on connaît un autre impair antécédent de 3 d'ordre 2 qui est 9 ! Idem si l'on veut remonter 7, car 49 est un de ses antécédents d'ordre 2. Quant à 5, il n'a pas d'antécédent aliquote. Tous les autres nombres premiers impairs semblent donc pouvoir se remonter à l'envers si la conjecture de Goldbach est vraie.

Ainsi, expliquons la méthode en remontant à l'envers le nombre n=11.
Une façon de remonter n=11 donne 11←21←51←141←411←5161←…, et en quelques heures de calcul, on arrive aisément à remonter de 1000 itérations. Mais les nombres deviennent vite énormes. Ainsi, pour remonter de 2000 itérations, il faudra des mois.
Précisons que nous n’avons pas besoin ici de décomposer des entiers en produit de nombres premiers. Il suffit à chaque étape de prendre le nombre pair juste inférieur et de trouver un couple p et q de nombres premiers distincts différents de deux dont la somme vaut ce nombre. Il suffit donc de faire des tests de primalité, bien plus rapides que des décompositions. Dans la pratique, on fait même plutôt des tests de pseudo-primalité, beaucoup plus rapides que les tests de primalité. Concrètement, mon programme fait des tests de pseudo-primalité dès que les nombres premiers à tester dépassent les 500 chiffres. Le test de pseudo-primalité de Fermat a une probabilité d'erreur de 2.3*10^(-55) pour des nombres de 500 chiffres et de 1.2*10^(-123) pour des nombres de 1000 chiffres !
En fait, il y a une infinité de manières de remonter un impair. Dans l’exemple précédent, j’ai utilisé la manière la plus rapide : à chaque étape, je prends le couple (p,q) avec le plus petit p possible. En effet, il y a beaucoup de couples possibles. J’aurais pu prendre le « pire » des cas en prenant p et q distincts les plus proches possibles de (n-1)/2. A ce moment-là, à chaque étape, le produit pq aurait donc été de l’ordre de grandeur de n²/4, ce qui revient à dire que à chaque étape, en remontant la suite à l'envers, on multiplie quasiment le nombre des chiffres par deux ! Très vite, les calculs deviennent alors trop longs pour la machine, voir l'exemple plus bas !

On aura fait des calculs de plus de 8 mois pour remonter à l'envers 3, 7, 11, 13 et 17 pour avoir des suites aliquotes démarrant sur des nombres à plus de 10000 chiffres avec des termes dont un des deux facteurs premiers a plus de 10000 chiffres. Seul un de ces calculs est terminé au jour d'aujourd'hui (18 février 2016) : celui de la remontée de 3 (ou 9), voir plus bas pour visualiser le résultat. Publication dans un avenir proche des remontées de 7, 11, 13 et 17, premier semestre 2016.

EXEMPLES, TAILLES RECORDS DE NOMBRES PREMIERS DANS UNE SUITE ALIQUOTE
EXAMPLES, RECORD SIZES FOR PRIME NUMBERS IN AN ALIQUOT SEQUENCE

Dans les exemples ci-dessous, on utilisera la syntaxe suivante :

n:i(-10)/n:i(10) nous enverra vers le lien de la base de données "factordb" qui nous montrera les termes de la suite aliquote démarrant avec le nombre n avec 10 antécédents aliquotes (i(-10)) et avec 10 itérations dans le sens normal (i10). Cela nous montrera donc 10+10=20 termes au total, envers et endroit confondus plus le terme n lui-même.
Attention : le temps d'affichage peut durer plusieurs minutes !


Remontée de 3 (en réalité de 9) de la manière la plus rapide :

Résultat sur la base de données factordb, mais que en remontant de 2010 itérations, car cette base de données ne semble pas ici accepter des nombres dont la taille dépasse les 8100 chiffres ou un peu plus :
3:i(-2010)/3:i(0)
RECORD POUR LA REMONTEE DE 3 (prime numbers with more than 10000 digits in an aliquot sequence !), non publiable sur la base de données factordb, car les nombres sont trop grands (nombre de départ : 10143 chiffres dont la décomposition vaut 2801 fois un nombre pseudo-premier de 10140 chiffres !), données en format ".txt" :
3:i(-2440)/3:i(0)


Remontée de 7 (en réalité de 49) de la manière la plus rapide :

Résultat sur la base de données factordb, mais que en remontant de 1977 itérations, car cette base de données ne semble pas ici accepter des nombres dont la taille dépasse les 8070 chiffres ou un peu plus :
7:i(-1976)/7:i(0)
RECORD POUR LA REMONTEE DE 7 (prime numbers with more than 10000 digits in an aliquot sequence !), non publiable sur la base de données factordb, car les nombres sont trop grands (nombre de départ : 10015 chiffres dont la décomposition vaut 106961 fois un nombre pseudo-premier de 10010 chiffres !), données en format ".zip" :
7:i(-2386)/7:i(0)


Remontée de 11 de la manière la plus rapide :

Résultat sur la base de données factordb, mais que en remontant de 1988 itérations, car cette base de données ne semble pas ici accepter des nombres dont la taille dépasse les 8100 chiffres ou un peu plus :
11:i(-1987)/11:i(0)
RECORD POUR LA REMONTEE DE 11 (prime numbers with more than 10000 digits in an aliquot sequence !), non publiable sur la base de données factordb, car les nombres sont trop grands (nombre de départ : 10013 chiffres dont la décomposition vaut 211493 fois un nombre pseudo-premier de 10007 chiffres !), données en format ".zip" :
11:i(-2387)/11:i(0)


Remontée de 13 de la manière la plus rapide :

Résultat sur la base de données factordb, mais que en remontant de 1994 itérations, car cette base de données ne semble pas ici accepter des nombres dont la taille dépasse les 8100 chiffres ou un peu plus :
13:i(-1994)/13:i(0)
RECORD POUR LA REMONTEE DE 13 (prime numbers with more than 10000 digits in an aliquot sequence !), non publiable sur la base de données factordb, car les nombres sont trop grands (nombre de départ : 10008 chiffres dont la décomposition vaut 77383 fois un nombre pseudo-premier de 10003 chiffres !), données en format ".zip" :
13:i(-2389)/13:i(0)


Remontée de 17 de la manière la plus rapide :

Résultat sur la base de données factordb, mais que en remontant de 1989 itérations, car cette base de données ne semble pas ici accepter des nombres dont la taille dépasse les 8100 chiffres ou un peu plus :
17:i(-1989)/17:i(0)
RECORD POUR LA REMONTEE DE 17 (prime numbers with more than 10000 digits in an aliquot sequence !), non publiable sur la base de données factordb, car les nombres sont trop grands (nombre de départ : 10005 chiffres dont la décomposition vaut 76079 fois un nombre pseudo-premier de 10000 chiffres !), données en format ".zip" :
17:i(-2387)/17:i(0)


Remontée de 3 (en réalité de 9) de la pire manière, suite aliquote qui divise par 2 le nombre de ses chiffres à chaque itération :
Very strange aliquot sequence that divides the number of digits by 2 in each iteration :

3:i(-17)/3:i(0)


Remontée de 2005020 (en réalité de (2005020-1)^2) de la manière la plus rapide (Attention, temps d'affichage très long !) :
Back for 2005020, an aliquot sequence with more than 16000 iterations (Very long wait time !) :

2005020:i(-1017)/2005020:i(14988)

Le nombre pair 2005020 est connu pour être le départ d’une suite aliquote à statut inconnu ayant presque 15000 termes (record en décembre 2015). Il se trouve qu’il a un antécédent impair qui est (2005020-1)^2. Je me suis ainsi amusé à remonter cet impair de 1017 étapes, portant donc à 16006 le record de longueur pour une suite aliquote ! Nous sommes là en face d’une suite aliquote qui vient de l’infini en « passant » par des nombres tous impairs, qui « passe » ensuite par un minimum qui est 2005020 et qui repart peut-être vers l’infini en se payant une belle partie de yoyo pour couronner le tout et en « passant » ce coup-ci par des nombres tous pairs !
Le même comportement en inversant les parités ne peut à mon avis pas exister à cause des fameux coefficients (voir lien σ'(n)/n pour les coefficients Kp et Ki et lien changement de parité pour les longueurs records des séquences de suites aliquotes de termes à nombres uniquement pairs ou impairs et respectivement strictement décroissantes ou croissantes)…





Dernière modification : 11 janvier 2017