Chaînes aliquotes isolées






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Avant de définir ce qu’est une chaîne aliquote isolée, visualisons certains travaux calculatoires ci-dessous.

Voici deux tableaux donnant des statistiques qui me paraissent elles très intéressantes :

Statistiques faites sur les 500 000 nombres pairs entre 4×106 et 5×106

Nombre d'antécédents i

Nombre de nombres pairs sur les 500 000 ayant i antécédents

0 (« nombres intouchables »)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>10

158 034

174 754

98 731

41 462

15 597

5 957

2 584

1 216

694

368

222

381



Statistiques faites sur les 500 000 nombres pairs entre 109-106 et 109

Nombre d'antécédents i

Nombre de nombres pairs sur les 500 000 ayant i antécédents

0 (« nombres intouchables »)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

>10

167 041

171 095

95 084

40 577

15 145

5 925

2 445

1 128

601

328

225

406



Il semblerait donc qu’à 1 ou 2 % près, un tiers des nombres pairs ait 0 antécédents aliquotes, un autre tiers n’en ait qu’un seul et que le tiers restant des nombres se répartisse dans des catégories d’autant plus grosses que le nombre d’antécédents est petit !
Et là encore, cela semble indépendant de la taille des nombres : il en est de même qu’on soit dans le voisinage de 5×106 ou de 109 ! Il faudra bien sûr vérifier si c’est toujours le cas pour des nombres encore plus grands dès que les moyens de calcul le permettront !

Mais à quoi pourraient bien nous servir ces statistiques ?

Et bien à prévoir le nombre de chaînes aliquotes isolés qu’on devrait trouver sur un intervalle !


Recherche de chaînes aliquotes isolées :

Rappelons qu’une chaîne aliquote isolée est une chaîne totalement isolée sur le graphe infini des suites aliquotes : aucune suite aliquote n’y aboutit. Cela est le cas car chacun des ses « nombres maillons » n’a qu’un seul antécédent aliquote !

Mais si un nombre pair donné a une chance sur trois d’avoir un seul antécédent, cela signifie qu’un couple de nombres pairs a une probabilité de (1/3)²=1/9 de voir ses deux membres n’avoir simultanément qu’un antécédent et un seul !
Autrement dit, 1 paire de nombres amiables (pairs) sur 9 devrait être isolée !
Et un nombre parfait (pair) sur trois aussi !
Et une chaîne aliquote à 4 maillons (pairs) sur 81 devrait être isolée !
Et plus généralement, 1 chaîne à m maillons pairs sur 3m devrait être isolée !
Et vu le grand nombre d’antécédents qu’ont les nombres impairs, ce serait un exploit de trouver une chaîne aliquote composée de nombres impairs qui soit isolée !


Vérification expérimentale :

Comme je ne peux pas stocker les nombres d’antécédents pour tous les nombres pairs inférieurs à 109, il a fallu créer des fichiers contenant tous les nombres qui sont maillons de chaînes aliquotes pour y associer leur nombre d’antécédents. Mais attention : étant donné le nombre de paires amiables dont les deux nombres sont inférieurs à 109, il n’est pas question de « relire » ces fichiers complets à chaque étape de la boucle pour voir si l’entier antécédent testé « passé » par la fonction σ' n’est pas égal à l’un d’eux ! Le temps de calcul serait bien trop long ! Il est plus rapide de tester à chaque étape si on n’est pas tombé sur un nombre amiable et si c’est le cas, alors seulement on complète le fichier en incrémentant le nombre d’antécédents du nombre amiable !


Résultats :


Chaînes aliquotes isolées à un maillon ou nombre parfaits isolés (untouchable perfect numbers) :

28 reste le seul nombre parfait isolé pour l’instant !


Chaînes aliquotes isolées à deux maillons ou nombre amis isolés (untouchable amicable numbers A238382) :

Sur les 412 paires d’amis dont les deux maillons pairs sont inférieurs à 109, il y en a 31 qui sont des paires isolées (on aurait dû en avoir 46≈412/9, mais l’ordre de grandeur est là !).

Voici ces 31 chaînes ci-dessous :

{356408, 399592}
{643336, 652664}
{5232010, 5799542}
{9363584, 9437056}
{10596368, 11199112}
{15363832, 16517768}
{31818952, 34860248}
{32205616, 34352624}
{46237730, 61319902}
{48641584, 48852176}
{49215166, 55349570}
{52695376, 56208368}
{91996816, 93259184}
{103034776, 105016424}
{137424188, 141993412}
{164733752, 166212808}
{252551048, 279327352}
{253703776, 260678624}
{271048340, 331636372}
{274638460, 302514116}
{287793350, 302793850}
{300208696, 313576904}
{360172336, 383753264}
{371840350, 464106146}
{375401624, 399982216}
{430848592, 445657808}
{512412550, 528145850}
{855737264, 876651856}
{870675856, 895461104}
{877324936, 890419064}
{930793204, 999728396}

Ces nombres constituant ces paires de nombres amis isolés ont été proposés à l'OEIS et ont été acceptés.
La suite est référencée : A238382

On pourra ici télécharger (download) les 186 premiers de ces nombres.
On pourra ici voir le programme ayant permis d'obtenir les termes de cette séquence : ami.sage

Voici ci-dessous les 95 premières paires de nombres amis isolées, les seules dont les deux termes soient inférieurs à 1010 :

[356408, 399592, 643336, 652664, 5232010, 5799542, 9363584, 9437056, 10596368, 11199112, 15363832, 16517768, 31818952, 34860248, 32205616, 34352624, 46237730, 61319902, 48641584, 48852176, 49215166, 55349570, 52695376, 56208368, 91996816, 93259184, 103034776, 105016424, 137424188, 141993412, 164733752, 166212808, 252551048, 279327352, 253703776, 260678624, 271048340, 331636372, 274638460, 302514116, 287793350, 302793850, 300208696, 313576904, 360172336, 383753264, 371840350, 464106146, 375401624, 399982216, 430848592, 445657808, 512412550, 528145850, 855737264, 876651856, 870675856, 895461104, 877324936, 890419064, 905196776, 1013228824, 930793204, 999728396, 950850140, 1047811252, 962951312, 1003172848, 1024706624, 1038911296, 1056277222, 1223576858, 1197281380, 1402100636, 1206344152, 1307355848, 1239657136, 1307367344, 1312909796, 1365507484, 1456694650, 1564540550, 1600185752, 1768066408, 1689026570, 2263716406, 1721688850, 2094066926, 1785186728, 2039387032, 1793313730, 1806455870, 1892277488, 1972653712, 2172649216, 2181168896, 2294183672, 2419178248, 2410351540, 2721279692, 2550651220, 3261855788, 2614326776, 2729081224, 2688000928, 2729180576, 3105174904, 3199343456, 3135932032, 3235061408, 3188153956, 3417616796, 3260154664, 3397181336, 3373569544, 3410834936, 3411757220, 3809832988, 3452049632, 3529398688, 3572444816, 3645843184, 3663942220, 4138709588, 3736912936, 3854502104, 3905117576, 4078242424, 3980355350, 4062879850, 4007609528, 4363729672, 4063895408, 4269946192, 4288758056, 4486457944, 4522539070, 5604923330, 4594486048, 4643059808, 4709813710, 4986547250, 4754422208, 4780940992, 4763730208, 5173851992, 5381495288, 6017775112, 5607553016, 5791414984, 5806329830, 6759686170, 5864752630, 6080349770, 6104216464, 6135000176, 6135028624, 6232751216, 6460278688, 6532639712, 6559115488, 6645570608, 6575884876, 7275607604, 6589526450, 7659561550, 7194869650, 7219609550, 7504585408, 7611543872, 7696871576, 7904894824, 7822669778, 7952449582, 7877348704, 8062881056, 8237044408, 8463859592, 8575844056, 9040528424, 8658321632, 8847009568, 8808227056, 8962421264, 8850661358, 8937716242, 8894283788, 9131961652, 9307840630, 9457161098, 9616775744, 9760750144]

Bien entendu, ces nombres sont à prendre par deux pour constituer les couples de nombres amis isolés. Les 31 premières paires sont évidemment les mêmes que celles explicitées plus haut, dont les deux termes sont inférieurs à 109.


Autres chaînes aliquotes isolées :

Je n’ai pas trouvé de chaîne aliquote isolée à 4 maillons ou plus jusqu’à 1010.
Le tableau ci-dessous donne les nombres et les caractéristiques des chaînes aliquotes qui existent jusqu’à 1011 en dehors de celles à 1 ou 2 maillons :

n

 

Type et nombre de chaînes à maillons pairs

Type et nombre de chaînes à maillons impairs

Jusqu'à 5×106

 

 

 

108

 

109

 

3 chaînes à 4 maillons

1 chaîne à 5 maillons

1 chaîne à 28 maillons

 

6 chaînes à 4 maillons

 

4 chaînes à 4 maillons

 

 

 

 

 

1 chaîne à 4 maillons

 

 

 

1010

 

 

 

1011

9 chaînes à 4 maillons

2 chaînes à 8 maillons

1 chaîne à 9 maillons

 

5 chaînes à 4 maillons

1 chaîne à 4 maillons

 

 

 

1 chaîne à 4 maillons

1 chaîne à 6 maillons



Attention : à chaque nombre n, on précise les chaînes qu’il y a en plus par rapport au n précédent. Comme j’ai fait le travail seulement jusqu’à 1010, partie supérieure du tableau au dessus du trait, j’ai donc testé au total 22 (=3+6+4+9) chaînes à 4 maillons pairs, une à 5 maillons pairs, 2 à 8 maillons pairs, une à 9 maillons pairs et une à 28 maillons pairs. Avec mon prochain ordinateur, je pourrai tester 5 chaînes à 4 maillons pairs supplémentaires, car je compte bien pouvoir aller jusqu’à 1011.
Comme dit plus haut, pour les chaînes à maillons impairs, il va falloir attendre et je ne me fais pas d’illusion : aucune ne sera isolée !





Dernière modification : Mai 2015