Avant de définir ce qu’est une chaîne aliquote isolée, visualisons certains travaux calculatoires ci-dessous.
Voici deux tableaux donnant des statistiques qui me paraissent elles très intéressantes :
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Statistiques faites sur les 500 000 nombres pairs entre 4×106 et 5×106
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Nombre d'antécédents i |
Nombre de nombres pairs sur les 500 000 ayant i antécédents |
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0 (« nombres intouchables ») 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >10 |
158 034 174 754 98 731 41 462 15 597 5 957 2 584 1 216 694 368 222 381 |
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Statistiques faites sur les 500 000 nombres pairs entre 109-106 et 109
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Nombre d'antécédents i |
Nombre de nombres pairs sur les 500 000 ayant i antécédents |
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0 (« nombres intouchables ») 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >10 |
167 041 171 095 95 084 40 577 15 145 5 925 2 445 1 128 601 328 225 406 |
Il semblerait donc qu’à 1 ou 2 % près, un tiers des nombres pairs ait 0 antécédents aliquotes, un autre tiers n’en ait qu’un seul et que le tiers restant des nombres se répartisse dans des catégories d’autant plus grosses que le nombre d’antécédents est petit !
Et là encore, cela semble indépendant de la taille des nombres : il en est de même qu’on soit dans le voisinage de 5×106 ou de 109 ! Il faudra bien sûr vérifier si c’est toujours le cas pour des nombres encore plus grands dès que les moyens de calcul le permettront !
En fait, des travaux théoriques ont été faits sur ce sujet (voir ici, bas de la page 8 : Article de Andrew R. BOOKER).
Selon Pollack et Pomerance, la densité des nombres intouchables (qui ont 0 antécédent aliquote) serait de environ 17% si l'on considère tous les nombres entiers, donc de 34% si l'on ne considère que les nombres pairs deux fois moins nombreux dans un intervalle.
Mais à quoi pourraient bien nous servir ces statistiques ?
Et bien à prévoir le nombre de chaînes aliquotes isolés qu’on devrait trouver sur un intervalle !
Rappelons qu’une chaîne aliquote isolée est une chaîne totalement isolée sur le graphe infini des suites aliquotes : aucune suite aliquote n’y aboutit. Cela est le cas car chacun des ses « nombres maillons » n’a qu’un seul antécédent aliquote !
Mais si un nombre pair donné a une chance sur trois d’avoir un seul antécédent, cela signifie qu’un couple de nombres pairs a une probabilité de (1/3)²=1/9 de voir ses deux membres n’avoir simultanément qu’un antécédent et un seul !
Autrement dit, 1 paire de nombres amiables (pairs) sur 9 devrait être isolée !
Et un nombre parfait (pair) sur trois aussi !
Et une chaîne aliquote à 4 maillons (pairs) sur 81 devrait être isolée !
Et plus généralement, 1 chaîne à m maillons pairs sur 3m devrait être isolée !
Et vu le grand nombre d’antécédents qu’ont les nombres impairs, ce serait un exploit de trouver une chaîne aliquote composée de nombres impairs qui soit isolée !
Comme je ne peux pas stocker les nombres d’antécédents pour tous les nombres pairs inférieurs à 109, il a fallu créer des fichiers contenant tous les nombres qui sont maillons de chaînes aliquotes pour y associer leur nombre d’antécédents. Mais attention : étant donné le nombre de paires amiables dont les deux nombres sont inférieurs à 109, il n’est pas question de « relire » ces fichiers complets à chaque étape de la boucle pour voir si l’entier antécédent testé « passé » par la fonction σ' n’est pas égal à l’un d’eux ! Le temps de calcul serait bien trop long ! Il est plus rapide de tester à chaque étape si on n’est pas tombé sur un nombre amiable et si c’est le cas, alors seulement on complète le fichier en incrémentant le nombre d’antécédents du nombre amiable !
28 reste le seul nombre parfait isolé pour l’instant !
Sur les 412 paires d’amis dont les deux maillons pairs sont inférieurs à 109, il y en a 31 qui sont des paires isolées (on aurait dû en avoir 46≈412/9, mais l’ordre de grandeur est là !).
Voici ces 31 chaînes ci-dessous :Je n’ai pas trouvé de chaîne aliquote isolée à 4 maillons ou plus jusqu’à 1010.
Le tableau ci-dessous donne les nombres et les caractéristiques des chaînes aliquotes qui existent jusqu’à 1011 en dehors de celles à 1 ou 2 maillons :
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n |
Type et nombre de chaînes à maillons pairs |
Type et nombre de chaînes à maillons impairs |
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Jusqu'à 5×106 108 109 |
3 chaînes à 4 maillons 1 chaîne à 5 maillons 1 chaîne à 28 maillons 6 chaînes à 4 maillons 4 chaînes à 4 maillons |
1 chaîne à 4 maillons |
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1010 1011 |
9 chaînes à 4 maillons 2 chaînes à 8 maillons 1 chaîne à 9 maillons 5 chaînes à 4 maillons |
1 chaîne à 4 maillons 1 chaîne à 4 maillons 1 chaîne à 6 maillons |
Attention : à chaque nombre n, on précise les chaînes qu’il y a en plus par rapport au n précédent. Comme j’ai fait le travail seulement jusqu’à 1010, partie supérieure du tableau au dessus du trait, j’ai donc testé au total 22 (=3+6+4+9) chaînes à 4 maillons pairs, une à 5 maillons pairs, 2 à 8 maillons pairs, une à 9 maillons pairs et une à 28 maillons pairs. Avec mon prochain ordinateur, je pourrai tester 5 chaînes à 4 maillons pairs supplémentaires, car je compte bien pouvoir aller jusqu’à 1011.
Comme dit plus haut, pour les chaînes à maillons impairs, il va falloir attendre et je ne me fais pas d’illusion : aucune ne sera isolée !
Dernière modification : 28 août 2017