SUITES ALIQUOTES AVEC TERMES DE TAILLE RECORD

(plus de 10^7 chiffres)

ALIQUOT SEQUENCES WITH RECORD SIZE TERMS

(more than 10^7 digits)






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Il est assez facile de calculer plusieurs centaines de termes d'une suite aliquote strictement croissante dont chacun de ses termes a plus de 10^7 chiffres.
Dans une première partie, nous expliquerons le principe qui permet d'arriver à faire cela.
Dans une deuxième partie, nous donnerons des exemples de telles suites aliquotes.
Dans une troisième partie, nous expliquerons comment trouver plusieurs suites aliquotes de ce genre en n'en calculant qu'une seule.
Enfin, nous montrerons que l'on peut trouver une infinté de telles suites en un temps très raisonnable.


Calculer très facilement une suite aliquote strictement croissante avec des termes de plus de 10^7 chiffres


Soit p un nombre premier tel que M=2^p-1 soit aussi un nombre premier : M est alors appelé un nombre premier de Mersenne.
Alors, N=2^(p-1)*M est un nombre parfait et σ(N)=2N et donc σ'(N)=σ(N)-N=N.

Soit j0=N*z0 le premier terme d'une suite aliquote, avec PGCD(N,z0)=1 (cela implique que σ(N*z0)=σ(N)*σ(z0)).
Le terme suivant j1 de la suite aliquote se calcule de la façon suivante :

j1 = σ(j0) - j0 = σ(N * z0) - N * z0 = σ(N) * σ(z0) - N * z0 = 2 * N * σ(z0) - N * z0 = N (2 σ(z0) - z0) = N * z1.

Nous noterons que z1 = 2 σ(z0) - z0 et que de manière plus générale, nous aurons zi+1 = 2 σ(zi) - zi.
Nous noterons que z0 étant impair, la relation de récurrence implique que zi est impair quel que soit i inférieur à une certaine limite, voir plus bas.
Nous noterons que zi+1 > zi quel que soit i inférieur à une certaine limite, voir plus bas.
ATTENTION : nous noterons que les trois propriétés de la suite (z) données ci-dessus ne restent vraies de manière certaine que tant que zi < M, car :
tant que zi restera inférieur à M, du fait de sa parité, zi restera toujours premier avec N et l'on pourra continuer à itérer de la sorte sans risque de changement du processus d'itération.Dès que zi sera plus grand que M, nous ne pourrons plus être certains que dans la décomposition en facteurs premiers de zi, n'apparaîtra pas le nombre premier M, ce qui pourra casser la "stabilité" de la suite aliquote, même si cela est extrêment improbable pour les M dépassant les 100 chiffres !


Nous comprenons à présent qu'il nous suffit de calculer les zi+1 = 2 σ(zi) - zi pour obtenir les suites aliquotes recherchées.
En prenant N avec plusieurs millions de chiffres, nous aurons alors une suite aliquote avec des termes sucessifs extrêmement stables qui seront :

j0 = N * z0
j1 = N * z1
j2 = N * z2
j3 = N * z3
...
ji = N * zi
...

Et ainsi de suite avec certitude tant que zi < M.
C'est aussi à cause de cette stabilité que les nombres parfaits sont appelés des "drivers" de suite aliquote.


Exemples de suites aliquotes avec des termes de taille gigantesque


Il n'est bien entendu pas raisonnable, voire pas possible de donner les termes des suites aliquotes qui suivent sous forme de nombres écrits en base 10. Ainsi, nous écrirons par exemple 2^520 * (2^521-1) pour exprimer le 13ème nombre parfait et non pas ce nombre à l'aide des 314 chiffres qui le représentent en base 10.


Voici plus de 800 itérations d'une suite aliquote dont chaque terme a plus de 314 chiffres ; 2^520 * (2^521-1) est le 13ème nombre parfait et il a 314 chiffres :
Suite commençant sur l'entier z0 = 2^520 * (2^521-1) * 3


Voici plus de 800 itérations d'une suite aliquote dont chaque terme a plus de 44677235 chiffres (!!!) ; 2^74207280 * (2^74207281-1) est le 49ème nombre parfait découvert et il a 44677235 chiffres :
Suite commençant sur l'entier z0 = 2^74207280 * (2^74207281-1) * 3



Nous noterons qu'il est possible de renseigner la base de données "factordb" avec la première suite aliquote, mais pas avec la deuxième : les nombres doivent être trop grands !
Nous noterons que les termes de ces deux suites aliquotes ont exactement les mêmes zi comme cofacteurs.

Voici trois suites aliquotes défférentes avec des termes avec 314 chiffres ou plus, mais avec des suites différentes de cofacteurs zi pour les trois suites aliquotes.
Ces trois suites ont été rentrées dans la base de données factordb :

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 3

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 11

Suite commençant par : 2^520 * (2^521-1) * 23


Question sur le fonctionnement de la base de données factordb :

J'arrive à comprendre que l'on puisse entrer des suites aliquotes avec des termes à 314 chiffres dans cette base de données.
J'ai réussi à y entrer une suite aliquote avec des termes à plus de 12000 chiffres : suite commençant par : 2^19936 * (2^19937-1) * 3
J'ai même réussi à y entrer une suite aliquote avec des termes à plus de 130100 chiffres : suite commençant par : 2^216090 * (2^216091-1) * 3
J'arrive toujours à comprendre que l'on ne puisse pas entrer des suites aliquotes avec des termes à 1791864 chiffres pour le nombre parfait 2^2976220 * (2^2976221-1) ou plus...

Par contre, j'ai du mal à comprendre que si la base de données à accepté plus de 800 termes de la suite aliquote qui démarre sur l'entier 2^520 * (2^521-1) * 3, il faille à nouveau rentrer les termes sucessifs de la suite aliquote qui commence par exemple avec l'entier 2^607 * (2^607-1) * 3. En effet, les cofacteurs zi sont exactement les mêmes pour ces deux suites aliquotes et la base de données devrait connaître ces cofacteurs une fois qu'on les a entrés pour un nombre parfait donné !

Trouver plusieurs suites aliquotes à taille record de termes en n'en calculant qu'une seule


En fait, il n'est nullement besoin de calculer rigoureusement une suite aliquote.
Il "suffit" de prendre un nombre impair quelconque z0 et d'itérer de la sorte : zi+1 = 2 σ(zi) - zi.
Ainsi, on a toute la famille de cofacteurs qui sera la même pour toutes les suites aliquotes qui qui démarrent sur un entier j0 = N * z0, N étant un nombre parfait.
La seule précaution à prendre est de veiller à ce que les termes zi ne deviennent pas plus grands que M=2^p-1 si N=2^(p-1)*M, comme expliqué plus haut (on rappelle que la suite (z) est strictement croissante).

Voici ci-dessous trois familles de cofacteurs zi :

Famille de cofacteur commençant par z0 = 3

Famille de cofacteur commençant par z0 = 11

Famille de cofacteur commençant par z0 = 23

Trouver une infinité de suites aliquotes à taille record de termes en un temps très raisonnable


Pour z0 = 3, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 43, 45, 111, ...
Pour z0 = 11, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 11, 13, 15, 33, 63, 145, ...
Pour z0 = 23, si l'on itère comme dit plus haut, la famille de cofacteurs commence ainsi : 23, 25, 37, 39, 73, 75, 173, ...

Ainsi, on comprend que si l'on prenait z0 = 5, ce serait totalement absurde de refaire tous les calculs, puisque l'on trouve la même suite que pour z0 = 3. Il en irait de même pour z0 = 7 ou 9. Par contre, pour z0 = 11, on trouve une toute nouvelle famille de nombres z.
Il est presque impossible de savoir si beaucoup plus loin, la famille qui commence à 11 rejoindra la famille qui commence à 3.
J'ai écrit un programme qui remplit un crible. On commence par poser la taille du crible : par exemple 1000000 pour faire le travail pour les nombres impairs jusqu'à 1999999 et on affecte 0 à chaque valeur de ce tableau. On pose z0 = 3 et on commence à calculer tous les termes de la suite (z) inférieurs à 2000000. On trouve ainsi 3, 5, 7, 9, 17, 19, 21, 43, 45, 111, ... A tous les emplacements de ces nombres impairs dans le tableau, on écrit "3" pour savoir ensuite qu'ils appartiennent à la famille z0 = 3. On reprend alors le tableau au début et on regarde la premier emplacement qui n'a pas été criblé par la famille z0 = 3, c'est à dire le premier emplacement où on aura un 0 : ce sera l'emplacement du nombre impair "11". On recommence alors de même avec z0 = 11. On met la valeur 11 aux emplacements des nombres impairs 11, 13, 15, 33, 63, 145, ... Mais attention, si l'on devait mettre un 11 à un emplacement où il y a dèjà un 3, cela signifierait que la famille z0 = 11 rencontre la famille z0 = 3 au bout d'un certain rang. Lorsqu'on a terminé avec le 11, on remarque que l'emplacement du nombre impair suivant pas encore criblé est celui du 23.

Si l'on fait tout ce travail sur un crible de taille 1000000, donc pour tous les nombres impairs de 3 à 1999999 , on a 507313 nombres pas criblés, dont 252921 qui en rencontrent d'autres et 254392 qui n'en rencontrent aucune autre et qui semblent donc être des suites (z) indépendantes. Mais attention, si l'on allait jusqu'à 10000000 (impairs jusqu'à 19999999), certaines de ces familles "indépendantes" ne le seraient certainement plus.
Par exemple, la première rencontre de deux familles sera pour z0 = 29, qui au bout de 2 itérations tombe sur z2 = 33 qui est lui-même la 3ème itération de la famille z0 = 11.
Autre exemple : la famille 137 rencontre la famille 51 à partir de l'itération 6.
Encore autre exemple : 17217 rencontre la famille 6905 à partir de l'itération 21.


Exemple autres que 3, 11 et 23 de z0 semblant engendrer des suites (z) indépendantes

Les premiers z0 qui sont des départs de familles (ou suites (z)) indépendantes si l'on crible jusqu'à 1000000 sont :

3, 11, 23, 27, 47, 51, 67, 79, 119, 135, 147, 155, 177, 189, 205, ...







Dernière modification : 28 août 2017