Proposition d’une méthode très précise de détermination de l'ordre de grandeur de G(n) (les nombres de Goldbach) pour un n donné en fonction de la décomposition de n en facteurs premiers.

Retour à page d'accueil

Soit A(n), le nombre d’antécédents aliquotes de n. J’ai très tôt remarqué que A(n) était grand pour n impair suffisamment grand et petit pour n pair suffisamment grand. Voici un tableau ci-dessous montrant cela :

Nombre d'antécédents de n

9990

9991

9992

9993

9994

9995

9996

9997

9998

9999

10000

270

105

262

Ensuite, j’ai remarqué d’autres curiosités. Il y a des pics et A(n) est encore plus grand dès que n vaut 1 modulo 6 ou modulo 30 ou 210…

Voici un tableau ci-dessous montrant cela qui nous présente une suite d’entiers n avec à leur droite écrit le nombre d’antécédents de n :

9029 95

9030 1

9031 304 **

9032 2

9033 94

9034 2

9035 94

9036 2

9037 193

9038 3

9039 91

9040 3

9041 130

9042 1

9043 205

9044 3

9045 123

9046 2

9047 98

9048 0

9049 214

9050 3

9051 120

9052 2

9053 104

9054 1

9055 179

9056 1

9057 92

9058 1

9059 116

9060 1

9061 247 *

9062 1

9063 102

9064 2

9065 107

9066 0

9067 182

9068 2

9069 92

9070 1

9071 128

9072 0

9073 213

9074 0

9075 101

9076 1

9077 91

9078 1

9079 194

9080 1

9081 126

9082 2

9083 98

9084 0

9085 176

9086 0

9087 125

9088 0

9089 95

9090 1

9091 241 *

9092 1

9093 87

9094 7

9095 94

9096 1

9097 191

9098 0

9099 89

9100 1

9101 164

9102 1

9103 195

9104 2

9105 103

9106 1

9107 99

9108 1

9109 215

9110 2

9111 123

9112 1

9113 104

9114 1

9115 228

9116 0

9117 96

9118 2

9119 92

9120 0

9121 260 *

9122 1

9123 103

9124 2

9125 87

9126 0

9127 199

9128 2

9129 106

9130 3

9131 137

9132 3

9133 191

9134 2

9135 93

9136 4

9137 92

9138 2

9139 191

9140 2

9141 120

9142 1

9143 112

9144 0

9145 185

9146 4

9147 97

9148 0

9149 92

9150 1

9151 248 *

9152 1

9153 114

9154 2

9155 97

9156 0

9157 228

9158 2

9159 96

9160 3

9161 124

9162 2

9163 192

9164 4

9165 103

9166 1

9167 98

9168 0

9169 179

9170 0

9171 150

9172 0

9173 95

9174 2

9175 215

9176 2

9177 100

9178 3

9179 104

9180 0

9181 254 *

9182 1

9183 86

9184 3

9185 120

9186 1

9187 192

9188 1

9189 97

9190 2

9191 122

9192 0

9193 183

9194 5

9195 94

9196 0

9197 111

9198 1

9199 217

9200 2

9201 141

9202 1

9203 100

9204 2

9205 218

9206 1

9207 87

9208 2

9209 96

9210 1

9211 251 *

9212 1

9213 119

9214 1

9215 99

9216 0

9217 203

9218 0

9219 103

9220 0

9221 121

9222 2

9223 187

9224 1

9225 87

9226 2

9227 114

9228 1

9229 180

9230 1

9231 133

9232 1

9233 99

9234 0

9235 191

9236 0

9237 89

9238 0

9239 97

9240 2

9241 334 **

9242 4

9243 96

9244 3

9245 96

9246 0

9247 207

9248 2

9249 100

9250 1

9251 129

9252 1

9253 186

9254 1

9255 116

9256 1

9257 110

9258 3

9259 191

9260 3

9261 126

9262 2

9263 105

9264 0

9265 193

9266 1

9267 98

9268 0

9269 112

9270 2

9271 253 *

9272 1

9273 93

9274 4

9275 97

9276 1

9277 181

9278 2

9279 90

9280 1

9281 124

9282 1

9283 257

9284 2

9285 104

9286 3

9287 95

9288 1

9289 189

9290 2

9291 117

9292 0

9293 99

9294 2

9295 186

9296 1

9297 119

9298 0

9299 92

9300 0

9301 266 *

9302 0

9303 88

9304 2

9305 87

9306 1

9307 209

9308 1

9309 107

9310 1

9311 156

9312 3

9313 190

9314 3

9315 91

9316 2

9317 106

9318 0

9319 193

9320 1

9321 123

9322 3

9323 99

9324 2

9325 239

9326 1

9327 106

9328 2

9329 108

9330 1

9331 253 *

9332 0

9333 97

9334 1

9335 102

9336 0

9337 192

9338 1

9339 123

9340 1

9341 129

9342 2

9343 185

9344 2

9345 95

9346 1

9347 94

9348 0

9349 207

9350 1

9351 149

9352 1

9353 113

9354 0

9355 197

9356 0

9357 93

9358 0

9359 96

9360 1

9361 273 *

9362 0

9363 95

9364 2

9365 90

9366 1

9367 232

9368 0

9369 90

9370 2

9371 124

9372 1

9373 216

9374 2

9375 98

9376 0

9377 93

9378 1

9379 183

9380 1

9381 154

9382 0

9383 98

9384 1

9385 219

9386 1

9387 110

9388 1

9389 108

9390 0

9391 244 *

9392 2

9393 93

9394 3

9395 125

9396 1

9397 204

9398 1

9399 100

9400 2

9401 139

9402 0

9403 187

9404 2

9405 85

9406 3

9407 95

9408 0

9409 229

9410 2

9411 127

9412 0

9413 103

9414 2

9415 201

9416 1

9417 108

9418 2

9419 96

9420 3

9421 258 *

9422 3

9423 116

9424 3

9425 114

9426 2

9427 191

9428 0

9429 94

9430 0

9431 127

9432 2

9433 187

9434 5

9435 105

9436 1

9437 115

9438 7

9439 227

9440 2

9441 134

9442 3

9443 97

9444 0

9445 195

9446 0

9447 96

9448 0

9449 97

9450 0

9451 298 **

9452 0

9453 97

9454 1

9455 108

9456 1

9457 199

9458 1

9459 104

9460 2

9461 142

9462 1

9463 201

9464 2

9465 124

9466 3

9467 90

9468 2

9469 192

9470 1

9471 128

9472 2

9473 105

9474 2

9475 198

9476 1

9477 99

9478 1

9479 114

9480 1

9481 260 *

9482 1

9483 108

9484 0

9485 94

9486 1

9487 214

9488 0

9489 89

9490 0

9491 148

9492 2

9493 230

9494 2

9495 94

9496 2

9497 94

9498 1

9499 189

9500 1

9501 137

9502 0

9503 101

9504 0

9505 217

9506 1

9507 119

9508 1

9509 97

9510 1

9511 255 *

9512 2

9513 98

9514 7

9515 108

9516 1

9517 212

9518 0

9519 87

9520 1

9521 174

9522 1

9523 200

9524 3

9525 103

9526 1

9527 110

9528 2

9529 193

9530 1

9531 124

9532 0

9533 96

9534 1

9535 234

9536 1

9537 98

9538 0

9539 105

9540 2

9541 262 *

9542 5

9543 105

9544 0

9545 104

9546 0

9547 204

9548 2

9549 121

9550 3

9551 131

9552 1

9553 205

9554 2

9555 106

9556 0

9557 103

9558 1

9559 193

9560 0

9561 123

9562 2

9563 121

9564 0

9565 194

9566 0

9567 93

9568 2

9569 116

9570 0

9571 296 *

9572 0

9573 99

9574 0

9575 100

9576 0

9577 251 ?

9578 0

9579 89

9580 3

9581 133

9582 1

9583 199

9584 2

9585 96

9586 1

9587 94

9588 2

9589 199

9590 1

9591 160

9592 0

9593 111

9594 2

9595 224

9596 0

9597 97

9598 1

9599 97

9600 0

9601 268 *

9602 1

9603 77

9604 2

9605 130

9606 2

9607 197

9608 0

9609 92

9610 0

9611 138

9612 1

9613 194

9614 3

9615 117

9616 2

9617 93

9618 1

9619 237

9620 2

9621 136

9622 2

9623 102

9624 1

9625 194

9626 5

9627 95

9628 0

9629 106

9630 1

9631 264 *

9632 2

9633 112

9634 3

9635 96

9636 1

9637 214

9638 0

9639 91

9640 2

9641 128

9642 0

9643 195

9644 4

9645 96

9646 2

9647 126

9648 0

9649 205

9650 3

9651 124

9652 2

9653 107

9654 2

9655 194

9656 2

9657 102

9658 2

9659 115

9660 2

9661 327 **

9662 2

9663 103

9664 1

9665 115

9666 1

9667 195

9668 0

9669 98

9670 1

9671 142

9672 1

9673 224

9674 1

9675 121

9676 2

9677 98

9678 2

9679 194

9680 2

9681 142

9682 4

9683 102

9684 0

9685 200

9686 0

9687 96

9688 1

9689 120

9690 4

9691 287 *

9692 1

9693 94

9694 3

9695 103

9696 1

9697 195

9698 1

9699 108

9700 3

9701 123

9702 0

9703 258

9704 2

9705 100

9706 0

9707 105

9708 0

9709 189

9710 3

9711 135

9712 0

9713 100

9714 0

9715 192

9716 0

9717 119

9718 3

9719 103

9720 2

9721 261 *

9722 4

9723 97

9724 2

9725 128

9726 2

9727 196

9728 0

9729 104

9730 1

9731 162

9732 0

9733 196

9734 3

9735 104

9736 3

9737 103

9738 2

9739 197

9740 3

9741 133

9742 1

9743 103

9744 2

9745 246

9746 2

9747 114

9748 0

9749 95

9750 1

9751 287 *

9752 2

9753 112

9754 3

9755 100

9756 0

9757 197

9758 0

9759 124

9760 1

9761 140

9762 2

9763 191

9764 0

9765 98

9766 2

9767 91

9768 2

9769 224

9770 3

9771 132

9772 3

9773 120

9774 1

9775 192

9776 1

9777 110

9778 1

9779 99

9780 1

9781 263 *

9782 1

9783 105

9784 6

9785 99

9786 0

9787 231

9788 2

9789 101

9790 2

9791 152

9792 1

9793 211

9794 5

9795 103

9796 0

9797 112

9798 1

9799 203

9800 0

9801 149

9802 2

9803 119

9804 4

9805 205

9806 3

9807 96

9808 1

9809 103

9810 2

9811 261 *

9812 2

9813 103

9814 1

9815 120

9816 2

9817 208

9818 1

9819 94

9820 3

9821 137

9822 0

9823 210

9824 1

9825 98

9826 1

9827 102

9828 1

9829 260 ?

9830 1

9831 124

9832 1

9833 101

9834 2

9835 220

9836 2

9837 99

9838 2

9839 91

9840 1

9841 267 *

9842 2

9843 131

9844 0

9845 106

9846 2

9847 196

9848 0

9849 101

9850 5

9851 130

9852 1

9853 198

9854 3

9855 103

9856 0

9857 133

9858 2

9859 203

9860 2

9861 145

9862 2

9863 104

9864 0

9865 207

9866 1

9867 86

9868 0

9869 103

9870 1

9871 317 **

9872 1

9873 102

9874 3

9875 105

9876 0

9877 208

9878 2

9879 111

9880 0

9881 163

9882 1

9883 204

9884 1

9885 117

9886 1

9887 100

9888 1

9889 201

9890 3

9891 146

9892 1

9893 107

9894 0

9895 215

9896 0

9897 97

9898 0

9899 120

9900 1

9901 301 *

9902 1

9903 98

9904 3

9905 104

9906 0

9907 214

9908 1

9909 94

9910 3

9911 135

9912 1

9913 236

9914 4

9915 99

9916 1

9917 114

9918 1

9919 225

9920 1

9921 142

9922 0

9923 114

9924 3

9925 200

9926 3

9927 123

9928 2

9929 111

9930 1

9931 266 *

9932 3

9933 109

9934 3

9935 105

9936 1

9937 205

9938 3

9939 103

9940 5

9941 164

9942 2

9943 203

9944 1

9945 113

9946 4

9947 113

9948 0

9949 199

9950 1

9951 128

9952 1

9953 98

9954 2

9955 249

9956 0

9957 99

9958 0

9959 107

9960 0

9961 273 *

9962 1

9963 115

9964 2

9965 100

9966 0

9967 217 --

9968 1

9969 120 -

9970 2

9971 141 -

9972 0

9973 197 --

9974 2

9975 92 -

9976 4

9977 104 -

9978 1

9979 197 --

9980 0

9981 136 -

9982 0

9983 139 -

9984 1

9985 216 --

9986 1

9987 102 -

9988 0

9989 116 -

9990 1

9991 270 *

9992 1

9993 105

9994 4

9995 99

9996 0

9997 262 ?

9998 0

9999 99

10000 1

Lorsque l’on regarde les nombres d’antécédents des valeurs de n qui valent 1 modulo 2 (donc les impairs), il nous apparaît qu’ils sont plus grands que les autres comme déjà signalé plus haut.

Les nombres n impairs ont un nombre d’antécédents de l’ordre de 100 (notés d’un trait - sur quelques lignes), sauf pour les nombres q qui valent 1 modulo 6 qui ont plutôt un nombre d’antécédents de l’ordre de 200 (notés de deux traits -- sur quelques lignes).

Si l’on prend tous ces plus grands nombres d’antécédents par intervalles de 6, ou ce qui revient au même, des intervalles de 30 sur tous les nombres, donc pour tous les n qui valent 1 modulo 30, les nombres d’antécédents sont encore plus grands : de l’ordre de 270 (j’y ai mis une étoile *). Il reste cependant quelques exceptions de nombres ayant un nombre d’antécédents un peu moins grand (j’ai mis des points d’interrogation en face de certaines de ces exceptions).

Si l’on continue la recherche des plus grands nombres d’antécédents, on s’aperçoit que pour tous les n qui valent 1 modulo 210, ils sont encore supérieurs : de l’ordre de 300, voire plus (j’y ai mis des doubles étoiles **).

Modulo 2, 6, 30 et 210 ???

2 = 2
6 = 2x3
30 = 2x3x5
210 = 2x3x5x7

Chose aussi très curieuse, le seul nombre qui vaut 1 modulo 2, 6, 30, 210, … (et d’ailleurs tous les entiers à la fois) est 1 lui-même, car 0 est multiple de n’importe quel entier. Ce qui voudrait dire que 1 est le nombre n qui devrait avoir le plus grand nombre d’antécédents, voire un nombre infini d’antécédents. Eh bien, c’est justement le cas, car tout nombre premier p est tel que σ’(p)=1 et il existe une infinité de nombres premiers !

Compte tenu de la relation montrée entre A(n+1) et G(n) pour n pair (voir lien nombre d'antécédents aliquotes), il m’a suffi de m’attaquer au problème des pics des G(n) qui m’a paru plus abordable.

Voici ci-dessous quelques entiers pairs avec en face leur décomposition en nombres premiers et leur nombre G(n) :

Décomposition de n en facteurs premiers

G(n)

187600

187602 -

187604

187606

187608 -

187610

187612

187614 -

187616

187618

187620 *

187622

187624

187626 -

187628

187630

187632 -

187634

187636

187638 -

187640

187642

187644 -

187646

187648

187650 *

187652

187654

187656 -

187658

187660

187662 -

187664

187666

187668 -

187670

187672

187674 -

187676

187678

187680 *

187682

187684

187686 -

187688

187690

187692 -

187694

187696

187698 -

187700

187702

187704 -

187706

187708

187710 *

187712

187714

187716 -

187718

187720

187722 -

187724

187726

187728 -

187730

187732

187734 -

187736

187738

187740 **

187742

187744

187746 -

187748

187750

{{2, 4}, {5, 2}, {7, 1}, {67, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {31267, 1}}

{{2, 2}, {46901, 1}}

{{2, 1}, {19, 1}, {4937, 1}}

{{2, 3}, {3, 1}, {7817, 1}}

{{2, 1}, {5, 1}, {73, 1}, {257, 1}}

{{2, 2}, {17, 1}, {31, 1}, {89, 1}}

{{2, 1}, {3, 2}, {7, 1}, {1489, 1}}

{{2, 5}, {11, 1}, {13, 1}, {41, 1}}

{{2, 1}, {93809, 1}}

{{2, 2}, {3, 1}, {5, 1}, {53, 1}, {59, 1}}

{{2, 1}, {93811, 1}}

{{2, 3}, {47, 1}, {499, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {31271, 1}}

{{2, 2}, {7, 1}, {6701, 1}}

{{2, 1}, {5, 1}, {29, 1}, {647, 1}}

{{2, 4}, {3, 2}, {1303, 1}}

{{2, 1}, {23, 1}, {4079, 1}}

{{2, 2}, {61, 1}, {769, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {11, 1}, {2843, 1}}

{{2, 3}, {5, 1}, {4691, 1}}

{{2, 1}, {7, 1}, {13, 1}, {1031, 1}}

{{2, 2}, {3, 1}, {19, 1}, {823, 1}}

{{2, 1}, {17, 1}, {5519, 1}}

{{2, 8}, {733, 1}}

{{2, 1}, {3, 3}, {5, 2}, {139, 1}}

{{2, 2}, {43, 1}, {1091, 1}}

{{2, 1}, {93827, 1}}

{{2, 3}, {3, 1}, {7, 1}, {1117, 1}}

{{2, 1}, {101, 1}, {929, 1}}

{{2, 2}, {5, 1}, {11, 1}, {853, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {31277, 1}}

{{2, 4}, {37, 1}, {317, 1}}

{{2, 1}, {103, 1}, {911, 1}}

{{2, 2}, {3, 2}, {13, 1}, {401, 1}}

{{2, 1}, {5, 1}, {7, 2}, {383, 1}}

{{2, 3}, {23459, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {31, 1}, {1009, 1}}

{{2, 2}, {46919, 1}}

{{2, 1}, {107, 1}, {877, 1}}

{{2, 5}, {3, 1}, {5, 1}, {17, 1}, {23, 1}}

{{2, 1}, {11, 1}, {19, 1}, {449, 1}}

{{2, 2}, {7, 1}, {6703, 1}}

{{2, 1}, {3, 2}, {10427, 1}}

{{2, 3}, {29, 1}, {809, 1}}

{{2, 1}, {5, 1}, {137, 2}}

{{2, 2}, {3, 1}, {15641, 1}}

{{2, 1}, {13, 1}, {7219, 1}}

{{2, 4}, {11731, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {7, 1}, {41, 1}, {109, 1}}

{{2, 2}, {5, 2}, {1877, 1}}

{{2, 1}, {93851, 1}}

{{2, 3}, {3, 3}, {11, 1}, {79, 1}}

{{2, 1}, {127, 1}, {739, 1}}

{{2, 2}, {167, 1}, {281, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {6257, 1}}

{{2, 6}, {7, 1}, {419, 1}}

{{2, 1}, {17, 1}, {5521, 1}}

{{2, 2}, {3, 1}, {15643, 1}}

{{2, 1}, {47, 1}, {1997, 1}}

{{2, 3}, {5, 1}, {13, 1}, {19, 2}}

{{2, 1}, {3, 2}, {10429, 1}}

{{2, 2}, {71, 1}, {661, 1}}

{{2, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {23, 1}, {53, 1}}

{{2, 4}, {3, 1}, {3911, 1}}

{{2, 1}, {5, 1}, {18773, 1}}

{{2, 2}, {46933, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {67, 1}, {467, 1}}

{{2, 3}, {31, 1}, {757, 1}}

{{2, 1}, {37, 1}, {43, 1}, {59, 1}}

{{2, 2}, {3, 2}, {5, 1}, {7, 1}, {149, 1}}

{{2, 1}, {93871, 1}}

{{2, 5}, {5867, 1}}

{{2, 1}, {3, 1}, {13, 1}, {29, 1}, {83, 1}}

{{2, 2}, {11, 1}, {17, 1}, {251, 1}}

{{2, 1}, {5, 3}, {751, 1}}

1663

2043

1016

1103

2027

1365

1133

2426

1238

987

2803

1001

1013

2017

1199

1417

2016

1075

1045

2223

1315

1319

2119

1085

1027

2700

1026

999

2414

979

1484

2004

1038

2157

1607

1026

2093

970

1025

3013

1211

1202

2017

1048

1326

1992

1102

1037

2483

1351

1000

2282

1000

985

2654

1191

1083

2047

1024

1557

1989

994

1435

2012

1328

996

2090

1033

1103

3262

1019

1044

2291

1199

1367

Le lecteur pourra se demander pourquoi j’ai pris des n aussi quelconques et pas plus ronds (comme par exemple 200 000) ?
Tout d’abord, en théorie des nombres, ce qui caractérise un entier est sa décomposition en nombres premiers et pas sa représentation en base 10 ! Donc en ce sens, 200 000 est tout aussi « quelconque » que 187 600. Ensuite, ce qui m’intéresse surtout, c’est que pour les nombres n de l’ordre de grandeur choisi ici, les plus petits G(n) valent à peu près 1000 ! Il est donc possible de voir d’un simple coup d’œil que par exemple G(187 740)=3262 est à peu près 3.2 fois plus grand que G(187 654)=999.

Voici cinq constatations que l’on peut faire sur ces valeurs de G(n) dans le tableau :

1) On constate que d’une manière générale, les plus petits G(n) valent environ 1000.
2) On constate que les entiers notés d’un trait (-) ont des G(n) qui valent environ le double : 2000.
3) On constate que ceux notés d’une étoile ont des G(n) qui valent un peu moins du triple.
4) On constate que celui noté de deux étoiles a un G(n) qui vaut un peu plus du triple.
5) On constate que 187 610 ou 187 690 en ont un qui est proche 1300 !

Cas 1) : on a en général affaire à des doubles de nombres premiers ou à des nombres de la forme 2pq avec p et q plus grands que 7.
Cas 2) : il s’agit des multiples de 6 = 2×3
Cas 3) : il s’agit des multiples de 30 = 2×3×5
Cas 4) : il s’agit des multiples de 210 = 2×3×5×7
Cas 5) : il s’agit des multiples de 10 = 2×5

Autrement dit il semblerait que plus n a de (petits) diviseurs, plus G(n) est grand.

Essayons de comprendre d’où vient le facteur 2 de différence entre les G(n) pour les cas 1) et 2).

Soit n pair que l’on cherche à écrire comme somme de deux nombres premiers distincts différents de 2, p et q.
p et q peuvent prendre trois valeurs modulo 3 : 0, 1 et 2. Analysons donc leur somme modulo 3 dans le tableau ci-dessous, somme qui n’est autre que n :

p modulo 3

q modulo 3

n = p+q modulo 3

Pour un n donné, il ne peut y avoir qu’un seul couple (p,q) tel que p ou (et) q ait une valeur de 0 modulo 3 : c’est le cas où p ou (et) q vaut 3. Une seule valeur sur 1000 (dans l’exemple précédent) ou plus : on se contentera donc de supprimer toutes les lignes du tableau ou p ou (et) q vaut 0 modulo 3. Il nous reste les cas ci-dessous :

p modulo 3

q modulo 3

n = p+q modulo 3

On rappellera qu’il y a autant de nombres premiers congrus à 1 et congrus à 2 modulo 3 (théorème de Dirichlet).
On constate donc que sur 4 couples (p,q) « piochés » au hasard, deux (la moitié) ont une somme qui vaut 0 modulo 3 et deux autres (l’autre moitié) ont une somme qui ne vaut pas 0 modulo trois.
Donc sur tous les couples (p,q) existants, la moitié a une somme qui donne le tiers des entiers pairs (ceux divisibles par 3) et l’autre moitié a une somme qui donne les deux autres tiers des entiers pairs (ceux pas divisibles par 3).
Les entiers pairs n divisibles par 3 ont donc deux fois plus de couples (p,q) dont la somme est n que ceux pas divisibles par 3.
D’où ce facteur 2 entre les cas 1) et 2) expliqué !

On pourrait faire un tableau similaire pour examiner les cas des nombres pairs divisibles par 5 et ceux qui ne le sont pas. On trouverait ce coup-ci que sur 16 couples (p,q), il y en a 4 dont la somme est divisible par 5 soit un quart. Les douze couples restants sur 16 (donc les trois quarts) sont à « partager » entre les 4 cinquièmes des entiers restants (ceux non divisibles par 5). Le coefficient recherché s’exprimera donc :
[(1/4)]/[(3/4)/4]=4/3.

Le cas général :

Faisons un raisonnement dans le cas général avec p modulo g, q modulo g et n=p+q modulo g. Dans la suite, on notera « modulo g » de la manière suivante : « [g] ».

Dans le cas général modulo g, on a g² couples (p, q).
On a g+g-1 = 2g-1 couples (p, q) tels que p = 0[g] et (ou) q = 0[g].
Si on enlève ces derniers cas au nombre total de couples, il nous reste g²-2g+1 = (g-1)² couples (p, q) tels que ni p ni q ne valent 0[g].
Tous ces couples (p, q) enlevés sont tels que p+q ≠ 0[g] (car soit p soit q vaut 0 [g]), sauf le couple (0, 0).
Or, au total, il y a g couples (p, q) tels que p+q = 0[g]. Si nous en avons enlevé un (le couple (0, 0)), il n’en reste que g-1.

Il nous reste donc au final :
g-1 couples (p, q) tels que p+q = 0[g]
(g-1)²-(g-1) = (g-1)(g-2) couples (p, q) tels que p+q ≠ 0[g].

Dans ce dernier cas, les (g-1)(g-2) couples se répartissent de manière équiprobable de telle manière à ce que leur somme soit égale à 1[g], 2[g], 3[g], ….., (g-1)[g] (théorème de Dirichlet cité plus haut). Donc, on aura (g-1)(g-2)/(g-1)=g-2 couples (p, q) tels que leur somme soit égale à 1[g], 2[g], 3[g], ….., (g-1)[g].

Nous sommes donc en mesure d’affirmer qu’il y a g-1 couples (p, q) tels que p+q = 0[g], qu’il y a g-2 couples (p, q) tels que p+q = i[g], quel que soit 0 < i < g.

D’où le coefficient recherché qui vaut (g-1)/(g-2).

Notons que si g vaut 3 ou 5, on retrouve respectivement les coefficients 2 ou 4/3.

On vérifie que ce coefficient est bon expérimentalement à l’aide du tableau. Les nombres n pairs divisibles aussi par 5 et encore par d’autres nombres premiers beaucoup plus grand (si ces nombres premiers sont assez grands, leur coefficient (g-1)/(g-2) est très proche de 1 et cela ne change rien) ont un G(n) qui vaut en gros 1000×4/3≈1300. 187 690 et 187 750 sont de ceux-là.

Le gros problème reste celui des n pairs divisibles à la fois par 3, 5, 7 et plus. Les « effets » de ces différents coefficients se « combinent ». J’ai trouvé empiriquement qu’il fallait les multiplier entre eux mais je ne sais pas pourquoi !
Exemple, pour n=187 740=2²×3²×5×7×149 dans le tableau, on trouve G(n)=3262. Or précisément, 1000×2×4/3×6/5×148/147≈3221 ! Un peu trop petit mais tout de même remarquablement proche !
Autre exemple : n=187 712=26×7×419, G(n)=1191 et 1000×6/5×418/417≈1202. Un peu trop grand mais aussi tout de même remarquablement proche !

J’ai bien sûr fait des tests plus sérieux sur des échantillons de nombres beaucoup plus grands. Mais j’en reparlerai plus tard après avoir exposé plus explicitement la méthode précise de détermination de l’ordre de grandeur de G(n) à partir de la décomposition de n en facteurs premiers.

LA METHODE :

Pour un nombre n pair donné, je peux avoir un bon ordre de grandeur de G(n) en décomposant n en nombres premiers. Ici, seuls les nombres premiers supérieurs à 2 importent, car on sait que de toute manière, les nombres n sont pairs.

Si n=p₁^α1×p₂^α2×......×p_i^αi

Alors G(n)≈v(n)×(p₁-1)/(p₁-2)×(p₂-1)/(p₂-2)×......×(p_i-1)/(p_i-2) (F)

Explications :

Le gros problème est le calcul de v(n) (qui vaut environ 1000 dans les exemples ci-dessus). Pour le trouver, il y a deux méthodes :
1) On calcule G(m), m étant le double du nombre premier le plus proche de n. Ou encore plus précis, on calcule la moyenne des G(m) pour plusieurs valeurs de m étant des doubles de nombres premiers dans le voisinage de n. Mais à ce moment-là, on n’a rien gagné, autant calculer directement la valeur exacte de G(n), à moins qu’on ait toute une série d’ordres de grandeurs de G(n) à calculer.
2) On se fie à des méthodes comme celle décrite sur le site :
http://fr.wikipedia.org/wiki/conjecture_de_goldbach
Cette page Web très intéressante propose un ordre de grandeur pour v(n) qui est :
v(n)≈2×Π₂×n/ln²(n), avec Π₂ = 0.660161858… qui n’est autre que la constante des nombres premiers jumeaux !
Dans notre exemple ci-dessus, 2×Π₂×187 700/ln²187 700≈1681. On est là vraiment assez loin de 1000 ! Mais peut-être cette méthode marche-t-elle mieux pour des n beaucoup plus grands ?

Cette page Web estime la valeur de G(n) avec la même formule que celle encadrée ci-dessus (F).
Mais on y précise qu’elle a été trouvée en 1923 par Hardy et Littlewood (conjecture des n-uplets premiers) et qu’elle ne serait qu’une conjecture dans le cas d’une décomposition des nombres pairs en somme de deux nombres premiers. Dans le cas d’une décomposition des nombres impairs en somme de trois nombres premiers, la formule (différente) semble rigoureusement démontrée par Vinogradov.

Je ne suis moi-même pas assez calé en mathématiques pour savoir s’il est possible avec ma méthode de démontrer rigoureusement la loi empirique (F) ; loi (F) donc conjecturée grâce à une méthode différente de la mienne (du moins me semble-t-il) par les mathématiciens cités plus haut ! Une des questions principales qui subsiste est de savoir pourquoi on doit multiplier les coefficients entre eux pour les « combiner » (voir passage en gras plus haut).

Voici encore deux constatations :

• Si je place tous les doubles de nombres premiers n en abscisse et leur G(n) en ordonnée, il est étonnant de voir à quel point il n’existe pas de « pic » et à quel point la croissance est régulière, mais malheureusement pas strictement monotone. Si tel avait été le cas, on aurait pu trouver une formule rigoureuse établissant exactement G(n) pour tout n, grâce à la méthode. Il reste donc une part d’aléatoire à cause de ces petites fluctuations ! Mais j’essaie bien sûr de les examiner de plus près ! Les doubles de nombres premiers sont quasiment les entiers qui ont les G(n) les plus petits par rapport aux autres de leur voisinage, à quelques exceptions près ! Si quelqu’un voulait infirmer la conjecture de Goldbach, je lui conseillerais de les examiner de plus près et d’essayer de trouver une loi de croissance pour les G(n) de ces nombres n particuliers, on ne sait jamais !!! Je lui conseillerais aussi de regarder de très près les rares exceptions à cette règle, comme par exemple l’entier 187 658 qui n’est pas un double de nombre premier et dont G(187 658)=979 est plus petit que G(187 654)=999 alors que 187 654 est un double nombre premier !
• Je suis désormais en mesure de certifier la chose suivante :
Pour k aussi grand que l’on veut, il y a un nombre n très grand tel que si dans le voisinage de n la taille moyenne des G(n) est m, alors il y a un entier r aussi dans le voisinage de n tel que G(r)>k×m ; r est dans ce cas un produit où apparaissent de très nombreux nombres premiers différents au moins une fois, comme par exemple le produit 2×3×5×7×11×…×p_i avec i très grand.
Je peux affirmer cela à cause de la divergence du produit (p₁-1)/(p₁-2)×(p₂-1)/(p₂-2)×……×(p_i-1)/(p_i-2) lorsque i tend vers l’infini (on retrouve le produit divergent dont on parle dans le lien σ'(n)/n) !

Vérification de la méthode à grande échelle :

• Entre 187 000 et 188 000, donc sur 500 nombres pairs, seuls 2 nombres (187 322 et 187658) ont une différence supérieure à 4 % entre leur G(n) réel et celui estimé à l’aide de la méthode ! J’ai pris la valeur v(n)=1007. La moyenne des pourcentages d’erreur entre les G(n) réels et estimés est de 1.06 %.

• Entre 999 500 et 1 000 500, donc sur 500 nombres pairs, seuls 2 nombres (999 554 et 999 848) ont une différence supérieure à 2 % entre leur G(n) réel et celui estimé à l’aide de la méthode ! J’ai pris la valeur v(n)=4054. La moyenne des pourcentages d’erreur entre les G(n) réels et estimés est de 0.4959 %.

• Entre 9 999 500 et 10 000 500, donc sur 500 nombres pairs, seuls 40 nombres ont une différence supérieure à 0.5 % et toutes inférieures à 1 % entre leur G(n) réel et celui estimé à l’aide de la méthode ! J’ai pris la valeur v(n)=29 061. La moyenne des pourcentages d’erreur entre les G(n) réels et estimés est de 0.2163 %.

On dirait que plus les n sont grands, plus la méthode est précise !

Pour terminer, le lecteur comprendra l’intérêt réel de la méthode s’il décide par exemple d’estimer la valeur de G(10³⁰). Car la calculer rigoureusement demanderait de faire approximativement 10³⁰/2 tests de primalité !

Dernière modification : Septembre 2010