Le graphe infini des suites aliquotes






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Voir le graphe infini "topologique" des suites aliquotes pour tous les nombres entiers jusqu'à 100.


Voir le graphe infini des suites aliquotes respectant la "distance" à 1 pour tous les nombres entiers jusqu'à 100.




Ces deux graphes sont les mêmes, sauf que le deuxième respecte une caractéristique de plus des suites aliquotes, voir ci-dessous les descriptions plus précises.



Le graphe infini topologique des suites aliquotes


Description du graphe infini topologique des suites aliquotes

Dans son article de février 2002 dans Pour la Science, Jean-Paul Delahaye définit la notion de « graphe infini des suites aliquotes ».

Tous les nombres entiers n'y figurent qu'une seule fois. Les nombres entiers définissent les "noeuds" du graphe. Ils sont reliés par des flèches à sens unique, flèches qui constituent les arêtes orientées du graphe. On va d'un entier à un autre si ces deux entiers sont deux termes consécutifs dans une suite aliquote. Ainsi, plusieurs flèches peuvent arriver vers un nombre entier : autant que ce nombre entier aura d'antécédents aliquotes. Mais une seule flèche peut partir d'un nombre entier, car tout nombre entier n ne peut avoir qu'un seul successeur : σ'(n)=σ(n)-n.

La figure présentée ici montre une partie infime du graphe infini des suites aliquotes : celle présentant tous les nombres entiers plus petits que 100. Ainsi y figurent certains entiers plus grands que 100 parce que leurs antécédents aliquotes sont plus petits que 100.
La position angulaire autour de 1 des nombres, ainsi que leur distance qui les sépare de 1 n'est pas à prendre en compte. Ces positions n'ont été choisies que pour obtenir un graphe "esthétique", beau à regarder. Seules les propriétés "topologiques" du graphe sont respectées, avec en plus, l'orientation des arêtes.

On notera que les entiers 2, 5, 52, 88 et 96 ont un début de flèche avec un carré : ce sont les cinq entiers inférieurs à 100 qui n'ont pas d'antécédent aliquote. Ce sont des nombres intouchables de Paul Erdös. Ce sont les seules branches du graphe qui sont définitivement terminées. Il s'agit des suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable.
On notera que tous les entiers autres que 6, 25, 95 et 28 finissent par aboutir sur l'entier 1 puis ensuite, sur l'entier 0. En effet, 25 et 95 (et tous leurs antécédents aliquotes) "conduisent" au nombre parfait 6 qui "reste ensuite sur lui-même", d'où le cercle autour de lui. On a ainsi toute une partie du graphe infini des suites aliquotes qui est "liée" au nombre parfait 6 et qui est non "liée" à la partie principale du graphe "liée" à 1. Quant à 28, il n'a aucun autre antécédent que lui-même et restera complètement isolé sur le graphe infini des suites aliquotes.
Ainsi, tous les nombres parfaits et plus généralement toutes les chaînes aliquotes à plusieurs maillons, avec tous leurs antécédents constitueront des parties de graphe non "liée" à la partie principale. Certaines chaînes aliquotes sont même totalement isolées sur le graphe infini des suites aliquotes, comme 28 (chaîne à un seul maillon) ou le couple de nombres amis : (356408 ; 399592), voir la partie chaînes aliquotes isolées.

La notion de "distance" entre les noeuds de ce graphe "topologique" pourrait avoir une signification sur les différentes parties connexes du graphe.
La "distance topologique" est signée : elle est positive si l'on itère à l'endroit. Elle est négative si l'on parle d'antécédents aliquotes.
Ainsi, tous les nombres premiers sont à une "distance topologique" de -1 de l'entier 1, car ce sont des antécédents de 1.
Par contre, 1 est à une distance topologique de 1 de tous les nombres premiers.
L'entier 10 est à une distance topologique de -3 de 1, car la suite aliquote qui commence en 10 arrive à 1 au bout de 3 itérations.
Réciproquement, 1 est à une distance topologique de 3 de 10.
Autre exemple, voici la suite aliquote qui commence avec 38 : 38 --> 22 --> 14 --> 10 --> 8 --> 7 --> 1.
Ici, à une distance topologique 3 du nombre 10, nous avons 1, car si l'on itère 3 fois en partant de 10, on arrive à 1.
Et à une distance topologique -3 du nombre 10, nous avons 38, car 38 est un antécédent d'ordre 3 de 10.
Notons qu'il ne peut exister qu'un nombre à une distance positive d'un autre alors qu'il peut en exister plusieurs à une distance négative. Dans l'exemple ci-dessus, le seul nombre à une distance 3 de 10 est 1. Par contre, il y a deux nombres à une distance -3 de 10 : 38 et 20, car 38 et 20 sont tous les deux des antécédents aliquotes d'ordre 3 de 10. En effet : σ'(20) = σ'(38) = 22.

Les propriétés du graphe infini topologique des suites aliquotes

Le graphe infini des suites aliquotes n'est pas connexe.

Le graphe infini des suites aliquotes a des branches avec un nombre infini d'arêtes en série en remontant les flèches à contresens si la conjecture de Goldbach est vraie.
Dit autrement, la distance topologique entre les termes impairs d'une suite d'antécédents aliquotes de 1 et 1 peut tendre vers - l'infini, si la conjecture de Goldbach est vraie.

Le graphe infini des suites aliquotes a des branches avec un nombre infini d'arêtes en série en suivant les flèches dans le bon sens si la conjecture de Catalan est fausse.
Dit autrement, la distance topologique entre les termes d'une suite aliquote et son nombre de départ peut tendre vers + l'infini si la conjecture de Catalan est fausse.

Seuls les nombres parfaits et toutes les chaînes aliquotes constituent des "mailles fermées" sur le graphe infini des suites aliquotes. Toutes les autres parties du graphe infini des suites aliquotes constituent des branches non bouclées.

Il devient vite impossible de représenter le graphe infini des suites aliquotes, certaines suites aliquotes démarrant sur des nombres relativement petits engendrant des milliers de termes d'une taille de plusieurs centaines de chiffres.

Questions ouvertes sur les propriétés topologiques du graphe infini des suites aliquotes

Existe-t-il tous les arbres possibles quelque part dans le graphe infini des suites aliquotes ?

On parle ici de l'existence possible d'un grand nombre d'arêtes non seulement en série, mais aussi en parallèle.
Exemple concret : y a-t-il un nombre qui aurait 100 antécédents aliquotes, dont chacun des ces 100 antécédents en aurait aussi 100 ?
Autre exemple : y a-t-il un nombre qui aurait 100 antécédents, dont chacun n'aurait aucun antécédent ?
Autre exemple : y a-t-il un nombre qui aurait 100 antécédents, dont 99 n'auraient aucun antécédent, mais un en aurait lui aussi 100 qui eux-mêmes n'auraient rigoureusement que 2 antécédents chacun ?
Même si ces exemples sont volontairement choisis comme étant d'une possibilité d'existence très peu probable, rien ne semblerait s'opposer à la possibilité de leur existence a priori !

On pourrait presque formuler une "conjecture des arbres" qui affirmerait que tous les types d'arbres pourraient exister sur le graphe infini des suites aliquotes.

MAIS, les calculs pour trouver un type d'arbre sont si longs, qu'ils n'ont pas pu être faits pour des arbres à plus de quelques branches en série.
Ce serait donc un peu osé de formuler la conjecture, même si je la crois vraie (Garambois) !



Le graphe infini des suites aliquotes respectant la distance à 1


Description du graphe infini des suites aliquotes respectant la distance à 1

La figure présentée ici a les même propriétés que celles décrite ci-dessus mais on a respecté une contraite supplémentaire.
On a essayé des faire en sorte que les distances radiales à 1 de chaque entier soient respectées mais toutefois sur une échelle logarithmique, sans quoi le graphe serait trop étendu et donc illisible. Les positions angulaires autour du 1 n'ont cependant aucune signification. Ces positions angulaires ont été choisies pour avoir un rendu esthétique.
Il a été très laborieux de dessiner ce graphe de manière à ce qu'il soit à peu près "joli à regarder" en plus de respecter grossièrement cette nouvelle contrainte, et on peut certainement faire bien mieux ! Qui essaiera ?
Le plus par rapport au graphe infini topologique des suites aliquotes est que l'on voit quand une suite aliquote se remet à grimper (elle s'éloigne alors du 1) et quand elle se remet à descendre (elle s'approche alors du 1).
Par ailleurs, tout ce qui a été dit pour l'autre graphe reste valable pour celui-ci, c'est-à-dire que ce graphe a les mêmes propriétés topologiques que l'autre.
La notion de distance topologique reste valable.
Nous avons en plus colorié en jaune les cellules contenant des nombres premiers. Nous avons écrit en rouge les 5 nombres inférieurs à 100 n'ayant pas d'antécédent aliquote (nombres intouchables de Paul Erdös). Enfin, nous avons écrit en bleu les deux seuls nombres inférieurs à 100 qui sont des maillons d'une chaîne aliquote, ce sont des nombres parfaits : 6 et 28.

Par contre, ce qui est très intéressant avec ce nouveau graphe, c'est que l'on peut justement considérer une nouvelle distance elle aussi signée, autre que la distance topologique : la longueur des arêtes en valeur algébrique. Dans une suite aliquote, on calcule cette distance en faisant la différence entre le terme suivant et le précédent dans la suite. Ainsi, si la suite aliquote grimpe vers le haut, la distance est positive : on monte, car le terme suivant est supérieur au précédent. Si la différence est négative, le terme suivant est inférieur au précédent : on descend, la distance est négative.
Mais, le graphe est une représentation erronée, car son échelle est logarithmique, mais il donne tout de même une bonne idée de la position des nombres par rapport à 1. Si l'on voulait dessiner le vrai graphe en respectant les distances radiales du 1 pour tous les nombres jusqu'à 100, mais aussi les distances entre chacun de ces nombres dans une suite aliquote, le graphe deviendrait très vite illisible, certains nombres seraient alors bien trop loin.
Si l'on voulait dessiner le graphe en respectant les distances par projection sur un axe pour tous les nombres jusqu'à 100, les arêtes se croiseraient et ce serait encore pire, encore moins lisible !
Quand on parle du graphe infini des suites aliquotes respectant la distance à 1, on considère donc le graphe infini des suites aliquotes parfait qui respecte les distances entre les nombres dans une suite aliquote et que nous n'avons pas réussi à représenter, même s'il existe. Nous en avons juste une représentation imparfaite pour tous les nombres jusqu'à 100, avec une échelle logarithmique.
Peut-être en 3 dimensions, pourrait-on en faire une belle représentation plus exacte, car on aurait plus de place pour placer les nombres ?

Exemples concrets :

Voici la suite aliquote qui commence avec 20 : 20 --> 22 --> 14 --> 10 --> 8 --> 7 --> 1.
Dans cette suite aliquote, sur le graphe infini des suites aliquotes dont nous parlons ici, la valeur algébrique de la longueur de l'arête entre 22 et 20, soit la distance entre 20 et 22 est de 22 - 20 = 2.
La distance entre 20 et 22 est la même, elle est négative car de toute façon, la flèche va de 20 vers 22 et non l'inverse, et le sens de cette flèche nous impose une distance positive.
La distance entre 10 et 14 est de 10 - 14 = -4, car la suite aliquote descend en allant de 14 à 10 et non l'inverse.
La distance entre 20 et 14 n'a aucun sens, car il n'y a pas d'arête entre 20 et 14.

Et les chaines aliquotes ?

Sur le graphe infini des suites aliquotes, les nombres parfaits définissent des sortes de "singularités", ou des points à 0 dimensions. Lorsqu'on itère, la distance est toujours de 0 et seuls les nombres parfaits peuvent avoir une distance de 0 sur notre nouveau graphe.
Les paires de nombres amiables définissent des bipoints, donc des segments à une dimension dont les longueurs ne peuvent prendre que les deux valeurs des différences entre les deux nombres de la paire d'amiables, l'une positive et l'autre négative : l'opposée de la première. Mais nous pouvons choisir de ne considérer que les valeurs absolues des distances dans ce qui suit.
Les chaines à 3 maillons dont on n'en a malheureusement encore découverte aucune définiraient des triangles, dont 1 ou 2 côté(s) serait(ent) toutefois de longueur(s) négative(s), à moins que l'on ne prenne que les distances en valeurs absolues en considération, comme dit plus haut.
Les chaînes à 4 maillons définissent des quadrilatères dont la longueur des 4 côtés seraient alors les valeurs absolues des 4 différences possibles entre les 4 paires de nombres consécutifs dans la chaîne.
Et ainsi de suite...
Mais cette vision géométrique pose problème pour 3 raisons :
1°/ D'abord, le triangle dont les trois cotés ont des longueurs a, b, c avec a<=b<=c n'existent que si a+b<=c. Nous ne savons pas si des chaines à 3 maillons assureraient que cette condition soit respectée sur les 3 valeurs absolues des distances. Il n'y a d'ailleurs aucune raison pour que ce soit le cas. Idem pour les chaines de plus de 3 maillons.
2°/ Ensuite, les points, les segments et les triangles dont on connait les mesures sont uniques, car "rigides". Cela est évident pour les points et les segments. Quant aux triangles, si on connaît leurs 3 cotés, leurs 3 angles sont fixés une fois pour toutes. On obtiendrait donc bien une famille de triangles uniques pour des chaînes aliquotes à 3 maillons, dont on pourrait chercher d'éventuelles proriétés. Il n'en est pas de même pour les polygones à plus de 3 côtés dont on devrait d'abord s'assurer de l'existence en fonction des longueurs des côtés. Si nous prenons l'exemple des chaînes aliquotes à 4 maillons, elles définissent des quadrilatères. Pour comprendre le problème, il suffit par exemple de penser au carré que l'on peut déformer de manière continue pour obtenir une infinité de losanges ayant les mêmes longueurs de côtés que le carré de départ. Il y a une infinité de quadrilatères à angles différents obtenus avec un quadruplet de longueurs de cotés. Cela rend l'étude de leurs caractéristiques problématique !
3°/ Enfin, le dernier problème est que les longueurs des côtés des polygones ne sont jamais négatives. pourquoi choisirions-nous de considérer les valeurs absolues des distances signées ?
Mais malgré ces trois problèmes, même s'il n'est donc peut-être pas bon de regarder ces nombres comme des points, ces paires de nombres comme des segments, ces triplets de nombres comme des triangles..., on ne peut s'empêcher de se demander si ces polygones ainsi définis ont des propriétés particulières ?

Une vision autre que géométrique ?

Quelle vision pourrait rendre compte du fait que pour une paire de nombres amiables, on ait toujours 2 distances égales en valeur absolue, mais de signe opposé ? Après tout, il vaut peut-être mieux regarder les distances entre les nombres amiables comme des racines de polynômes. Avec cette nouvelle vision, chaque paire amiable définirait un polynôme de degré 2.
Et plus généralement, toute chaîne aliquote à m maillons donnerait un polynôme de degré m.
Quelles sont les propriétés des polynômes ainsi définis ?

On peut certainement essayer de jeter encore d'autres ponts entre les m-uplets de nombres définis par les distances dans les chaînes aliquotes et d'autres domaines des mathématiques. Quant à savoir si cela est porteur... c'est une autre histoire !

Les propriétés du graphe infini des suites aliquotes respectant les distances

Nous ne voyons pas quelle propriétés rajouter par rapport au graphe topologique, autres que celles dont on fait l'ébauche dans la description ci-dessus.
Par contre, une foule de questions viennent à l'esprit, voir ci-dessous.

Questions ouvertes sur les propriétés du graphe infini des suites aliquotes respectant les distances

Se demander s'il existe tous les types d'arbres avec des branches de toutes les longueurs semble inutile. En effet : une arête de ce graphe ne peut avoir une longueur impaire en valeur absolue que si on a un changement de parité entre deux termes consécutifs d'une suite aliquote. Et cela n'est le cas que quand le terme est en carré parfait ou le double d'un carré parfait. Voir ici la démonstration. Et comme la densité des carrés parfaits tend vers 0 dans les grands nombres, l'existence de tous les types d'arbres avec toutes les longueurs de branches parait impossible !
Mais comment le prouver ?


Mais nous pouvons nous demander beaucoup plus simplement s'il existe toutes les longueurs d'arêtes possibles dans ce deuxième graphe infini des suites aliquotes respectant les distances.
Des calculs sont en cours pour essayer de formuler des conjectures à ce sujet.
Il semble judicieux de différencier les cas des distances paires et des distances impaires.
Appelons d(n) cette distance pour un entier n.
d(n) = σ'(n) - n = σ(n) - 2n
Notons quelques résultats caculatoires pour donner une idée des travaux en cours.

Pour d(n) impair

Nous avons testé tous les n = z^2 et n = 2 * z^2 pour z de 1 à 4 400 000 000. Il n'existe que 25 valeurs de n toutes plus petites que n = 244036 = 494^2 telles que -100 <= d(n) <= 100 avec exclue la valeur d(n) = 1.
Nous n'avons pas encore trouvé de n tel que d(n) prenne par exemple les valeurs impaires inférieures à 50 qui sont : 9, 13, 15, 21, 23, 27, 29, 33, 35, 43, 45, 49.
En ce qui concerne d(n) = 1, c'est le cas pour tous les n qui sont des puissances de 2 : il y en a donc une infinité.

Pour d(n) pair

Nous avons testé tous les n de 1 à 15 milliards.
Nous avons dénombré aussi les d(n) impairs, mais ce sont les mêmes que pour la paragraphe précédent en ayant été beaucoup moins loin !
Voici ci-dessous les résultats pour tous les -100 <= d(n) <=100.

[[-100, 20], [-99, 0], [-98, 6], [-97, 0], [-96, 9], [-95, 0], [-94, 11], [-93, 0], [-92, 11], [-91, 0], [-90, 14], [-89, 0], [-88, 27], [-87, 0], [-86, 6], [-85, 1], [-84, 3], [-83, 0], [-82, 12], [-81, 0], [-80, 9], [-79, 0], [-78, 10], [-77, 0], [-76, 14], [-75, 0], [-74, 4], [-73, 0], [-72, 9], [-71, 1], [-70, 10], [-69, 0], [-68, 19], [-67, 0], [-66, 9], [-65, 0], [-64, 32], [-63, 0], [-62, 3], [-61, 1], [-60, 3], [-59, 0], [-58, 12], [-57, 0], [-56, 6], [-55, 0], [-54, 6], [-53, 0], [-52, 16], [-51, 0], [-50, 3], [-49, 0], [-48, 1], [-47, 1], [-46, 10], [-45, 0], [-44, 14], [-43, 0], [-42, 11], [-41, 2], [-40, 20], [-39, 0], [-38, 8], [-37, 1], [-36, 7], [-35, 0], [-34, 8], [-33, 0], [-32, 22], [-31, 0], [-30, 12], [-29, 0], [-28, 18], [-27, 0], [-26, 8], [-25, 1], [-24, 2], [-23, 0], [-22, 12], [-21, 0], [-20, 16], [-19, 2], [-18, 5], [-17, 0], [-16, 38], [-15, 0], [-14, 4], [-13, 0], [-12, 7], [-11, 1], [-10, 9], [-9, 0], [-8, 16], [-7, 1], [-6, 8], [-5, 1], [-4, 15], [-3, 0], [-2, 5], [-1, 34], [0, 6], [1, 0], [2, 9], [3, 1], [4, 10], [5, 0], [6, 3], [7, 1], [8, 25], [9, 0], [10, 3], [11, 0], [12, 121443375], [13, 0], [14, 6], [15, 0], [16, 22], [17, 1], [18, 10], [19, 1], [20, 20], [21, 0], [22, 4], [23, 0], [24, 4], [25, 0], [26, 7], [27, 0], [28, 6], [29, 0], [30, 11], [31, 1], [32, 31], [33, 0], [34, 2], [35, 0], [36, 2], [37, 0], [38, 3], [39, 1], [40, 4], [41, 1], [42, 2], [43, 0], [44, 12], [45, 0], [46, 4], [47, 0], [48, 6], [49, 0], [50, 5], [51, 1], [52, 13], [53, 0], [54, 5], [55, 0], [56, 28135146], [57, 0], [58, 2], [59, 1], [60, 6], [61, 0], [62, 3], [63, 0], [64, 20], [65, 1], [66, 2], [67, 0], [68, 14], [69, 0], [70, 1], [71, 1], [72, 4], [73, 0], [74, 8], [75, 0], [76, 10], [77, 0], [78, 2], [79, 0], [80, 16], [81, 0], [82, 5], [83, 0], [84, 2], [85, 0], [86, 3], [87, 0], [88, 24], [89, 1], [90, 11], [91, 0], [92, 9], [93, 0], [94, 2], [95, 0], [96, 6], [97, 0], [98, 6], [99, 0], [100, 7]]

Ce tableau signifie par exemple qu'il y a 20 nombres n inférieurs à 15 milliards dont d(n)=-100.
Ou qu'il y a 6 nombres n inférieurs à 15 milliards dont d(n)=0 : ce sont justement les 6 nombres parfaits inférieurs à 15 milliards.

Par contre, il s'agit de bien regarder les d(n) égaux à 12 = 2 * 6 et à 56 = 2 * 28.
Plus de 100 millions de n pour le premier et plus de 28 millions pour le deuxième !!!
Il y a un troisième d(n) <= 1000 ayant une taille anormalement grande : pour d(n) = 992 = 2 * 496, on a plus de 1.8 millions de n différents possibles.
Il existe donc énormément d'entiers n tels que d(n) = 2 * p, p étant un nombre parfait.
Cela se démontre très facilement : il suffit que n = p * q, avec p un nombre parfait et q un nombre premier.
Soit n = p * q = pq, p et q premiers entre eux.
d(n) = d(pq) = σ(pq) - 2pq = σ(p) * σ(q) - 2pq = 2p * (1 + q) - 2pq = 2p + 2pq - 2pq = 2p.
CQFD
Cela a une conséquence immédiate dans les termes d'une suite aliquote : il est très courant que la distance entre deux termes (bien entendu consécutifs) soit égale au double d'un nombre parfait.

Ce travail en réalité a été fait pour -1000 <= d(n) <= 1000.
Nous avons trouvé 9 valeurs de d(n) pour lesquels il n'existe pas de n inférieur à 15 milliards : -482 ; 358 ; 442 ; 526 ; 550 ; 694 ; 778 ; 898.
Mais il ne fait quasiment aucun doute que nous trouverons des n plus loin dont les d(n) prendront ces valeurs.


Pour d(n) pair uniquement pour les n appartenant à des chaines amiables

Cela revient à examiner les longueurs des segments possibles dont on parlait plus haut.
On a téléchargé toutes les paires amiables connues jusqu'à 60 chiffres, sur ce site dédié aux paires de nombres amiables.
Il n'y a que 8 couples de nombres amiables sur toutes les paires connues de moins de 60 chiffres, qui ont des d(n) inférieurs à 1000.
Et le comble, c'est que la taille de membres de ces 8 couples ne dépassent pas les 6 chiffres !
Voici ces 8 couples de paires amiables (a, b) avec leur d(n) = |a - b| ici noté "d" associé :

(220, 284) d = 64
(1184, 1210) d = 26
(2620, 2924) d = 304
(5020, 5564) d = 544
(6232, 6368) d = 136
(10744, 10856) d = 112
(66928, 66992) d = 64
(122368, 123152) d = 784

On notera qu'il y a deux paires dont la distance est 64.

On notera aussi sur la page Internet du lien ci-dessus, que seules les paires de nombres amiables de 19 chiffres ou moins sont toutes connues (août 2018). Il s'agit des cases coloriées en vert. Un projet de science participative permet de continuer la recherche exhaustive de toutes ces paires amiables dont les membres ont 20 chiffres, puis plus tard 21 chiffres, voire même plus loin... Il s'agit de "amicable@home" que l'on peut faire tourner sur BOINC.

En existe-t-il d'autres avec des d(n) <= 1000 ?
Aujourd'hui (août 2018), nous connaissons plus de 1.2 milliards de paires amiables, mais nous n'avons calculé que les distances de celles connues à moins de 60 chiffres.
Une recherche à poursuivre...

Quant à trouver des paires ayant des d(n) impairs, on en est loin : il faudrait que les deux membres du couple d'amiables ne soient pas de la même parité.
Or, nous ne connaissons même pas une seule paire amiable de cette sorte aujourd'hui !





Dernière modification : 8 septembre 2018