Le graphe infini des suites aliquotes






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Voir le graphe infini des suites aliquotes pour tous les nombres entiers jusqu'à 100.





Description du graphe infini des suites aliquotes

Dans son article de février 2002 dans Pour la Science, Jean-Paul Delahaye définit la notion de « graphe infini des suites aliquotes ».

Tous les nombres entiers n'y figurent qu'une seule fois. Les nombres entier définissent les "noeuds" du graphe. Ils sont reliés par des flèches à sens unique, flèches qui constituent les arêtes orientées du graphe. On va d'un entier à un autre si ces deux entiers sont deux termes consécutifs dans une suite aliquote. Ainsi, plusieurs flèches peuvent arriver vers un nombre entier : autant que ce nombre entier aura d'antécédents aliquotes. Mais une seule flèche peut partir d'un nombre entier, car tout nombre entier n ne peut avoir qu'un seul successeur : σ'(n)=σ(n)-n.

La figure présentée ici montre une partie infime du graphe infini des suites aliquotes : celle présentant tous les nombres entiers plus petits que 100. Ainsi y figurent certains entiers plus grands que 100 parce que leurs antécédents aliquotes sont plus petits que 100.

On notera que les entiers 2, 5, 52, 88 et 96 ont un début de flèche avec un carré : ce sont les cinq entiers inférieurs à 100 qui n'ont pas d'antécédent aliquote. Ce sont des nombres intouchables de Paul Erdös. Ce sont les seules branches du graphe qui sont définitivement terminées. Il s'agit des suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable.
On notera que tous les entiers autres que 6, 25, 95 et 28 finissent par aboutir sur l'entier 1 puis ensuite, sur l'entier 0. En effet, 25 et 95 (et tous leurs antécédents aliquotes) "conduisent" au nombre parfait 6 qui "reste ensuite sur lui-même", d'où le cercle autour de lui. On a ainsi toute une partie du graphe infini des suites aliquotes qui est "liée" au nombre parfait 6 et qui est non "liée" à la partie principale du graphe "liée" à 1. Quant à 28, il n'a aucun autre antécédent que lui-même et restera complètement isolé sur le graphe infini des suites aliquotes.
Ainsi, tous les nombres parfaits et plus généralement toutes les chaînes aliquotes à plusieurs maillons, avec tous leurs antécédents constitueront des parties de graphe non "liée" à la partie principale. Certaines chaînes aliquotes sont même totalement isolées sur le graphe infini des suites aliquotes, comme 28 (chaîne à un seul maillon) ou le couple de nombres amis : (356408 ; 399592), voir la partie chaînes aliquotes isolées.

La notion de "distance" entre les noeuds de ce graphe pourrait avoir une signification sur les différentes parties connexes du graphe.
Ainsi, tous les nombres premiers sont à une distance 1 de l'entier 1.



Les propriétés du graphe infini des suites aliquotes

Le graphe infini des suites aliquotes n'est pas connexe.

Le graphe infini des suites aliquotes a des branches avec un nombre infini d'arêtes en remontant les flèches à contresens si la conjecture de Goldbach est vraie.

Le graphe infini des suites aliquotes a des branches avec un nombre infini d'arêtes en suivant les flèches dans le bon sens si la conjecture de Catalan est fausse.

Seuls les nombres parfaits et toutes les chaînes aliquotes constituent des "mailles fermées" sur le graphe infini des suites aliquotes. Toutes les autres parties du graphe infini des suites aliquotes constituent des branches.

Il devient vite impossible de représenter le graphe infini des suites aliquotes, certaines suites aliquotes démarrant sur des nombres relativement petits engendrant des milliers de termes d'une taille de plusieurs centaines de chiffres.






Dernière modification : Août 2015