Etendre la fonction σ à autre chose que des nombres entiers






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Etendre la fonction σ aux nombres négatifs

Dans le lien autres processus itératifs, je parle d’autres processus itératifs comme par exemple n → σ’(n)+b, b étant un entier relatif. Rappelons que nous ne sommes alors plus en présence de suites aliquotes (puisque leur processus itératif à elles est le suivant : n → σ’(n)), mais de suites « exotiques ».

Au cours de l’été 2003, je me suis lancé dans l’exploration de processus itératifs « polynomiaux » comme par exemple n → a×(σ’(n))² + b×σ’(n) + c. Ici, nous avons un exemple de processus itératif « polynomial » de second degré, mais on peut prendre n’importe quel degré supérieur.

Je ne désire pas ici parler des « résultats » obtenus lors de cette exploration, car ils ne sont pas concluants encore que je puisse dire qu’il se passe des choses curieuses ! De plus, je ne fais que débuter dans cette nouvelle voie !
Je désire juste faire mention de deux questions que je me suis posées :
La première est : puis-je prendre des coefficients a, b ou c (ou d, e, f … pour les degrés supérieurs) négatifs ce qui à un moment donné en itérant peut me faire « tomber » sur un terme négatif dans la suite exotique ?
La deuxième est : si je tombe alors sur un terme négatif, vais-je arrêter le processus itératif ou vais-je continuer ? C’est en fait la fameuse et fondamentale question des tests d’arrêts qui ressurgit ici, celle même que je posais dans le lien autres processus itératifs.
C’est cette possibilité de tomber sur un terme de suite négatif qui m’a d’ailleurs empêché de prendre des valeurs de b inférieures à -1 dans mes travaux sur le processus itératif cité ci-dessus n → σ’(n)+b.

J’ai donc deux solutions lorsque j’itère et lorsque je tombe sur un terme de ma suite qui est négatif.

- Soit j’arrête, mais cela ne me satisfait pas (il s’agit là d’une question purement personnelle et esthétique), car il me semble que ce n’est pas pareil si je m’arrête par exemple à -6 ou -10. A moins que dans mon exploration, je tienne compte des négatifs sur lesquels je me suis arrêté et que j’étudie s’il y en a des privilégiés (cela me satisferait alors plus).
- Soit j’étends mes possibilités d’itérations aux nombres négatifs.

Je fais donc la proposition suivante : Lorsque dans une suite exotique, on tombe sur un nombre négatif n, on peut continuer le processus itératif.
De quelle manière ? En prenant la somme des diviseurs positifs de ce nombre négatif n, et seulement les diviseurs positifs car sans cela, la somme des diviseurs d’un nombre serait toujours nulle. En effet, chaque diviseur positif d de n implique que –d divise aussi n et l’on arrive ainsi à ce que chaque diviseur d de n ait un opposé qui l’annule dans la somme des diviseurs de n.


Prenons des exemples pour mieux comprendre.

σ’(6) = 6, car les diviseurs positifs de 6 hormis lui-même sont 1, 2 et 3.
σ’(10) = 8, car les diviseurs positifs de 10 hormis lui-même sont 1, 2 et 5.
σ’(-6) = 6, car les diviseurs positifs de -6 hormis lui-même sont 1, 2 et 3.
σ’(-10) = 8, car les diviseurs positifs de -10 hormis lui-même sont 1, 2 et 5.

Il s’agit en résumé, lorsqu’on tombe sur un terme négatif dans une suite exotique de prendre sa valeur absolue et de continuer le processus itératif de manière classique.

Ce qu’on peut retenir :

Nous pouvons donc dire que nous avons étendu la fonction σ’ aux nombres négatifs, ce qui nous permet maintenant d’itérer dans une suite exotique indifféremment que l’on tombe sur un terme positif ou négatif. Nous avons les règles suivantes :

σ(-n) = σ(n) = σ( |n| )

et

σ’(-n) = σ’(n) = σ’( |n| )

et

σ’(n) = σ(n) – |n| : pour n entier relatif, la nature de la relation entre σ(n) et σ’(n) change par rapport au cas où n n’est qu’un entier naturel (dans ce dernier cas, je rappelle que σ’(n)=σ(n)-n comme dit dans le lien définitions).


Note 1 : je rappelle que l’exploration des suites exotiques me semble intéressante car ce pourrait être une sorte de généralisation. Les suites aliquotes ne seraient alors qu’un cas particulier des suites exotiques et l’idée est de connaître des choses sur elles qui n’apparaîtraient que dans l’étude plus généralisée de ces suites exotiques.
Mais dans l’absolu, je ne sais pas s’il est plus intéressant d’étendre la fonction σ’ aux négatifs ou pas. Je ne sais d’ailleurs même pas si l’une de ces deux démarches portera des fruits !

Note 2 : Signalons que le logiciel Mathematica accepte les nombres négatifs dans sa fonction σ et qu’il procède justement de la manière que j’ai décrite ci-dessus. Apparemment, il n’y a donc pas d’ambiguïté dans ma proposition d’étendre la fonction σ aux entiers relatifs.

Etendre la fonction σ aux nombres complexes entiers de Gauss

Après avoir étendu la fonction σ’ (ou σ) aux entiers relatifs, j’ai immédiatement songé à l’étendre aux nombres complexes entiers de Gauss.

Pourquoi ne pas étudier les suites aliquotes (ou les exotiques) en acceptant les nombres complexes entiers de Gauss comme valeurs initiales ? Je rappelle que ce sont les nombres complexes dont les parties imaginaires et réelles sont entières. Il serait aussi absurde d’accepter des parties réelles et imaginaires non entières que de vouloir étudier les suites exotiques sur des nombres décimaux ou réels : la somme des diviseurs n’a alors plus aucun sens !

Mais cela pose un grand nombre de questions ! Il semble à peu près évident que quand on fait la somme des diviseurs d’un entier de Gauss, on ne prenne que des diviseurs eux-mêmes entiers de Gauss. Mais lesquels ? Seulement les entiers positifs de Gauss ? J’ai trouvé leur définition dans « Le livre des nombres » de John H. Conway et Richard K.
Faut-il de plus compter comme diviseur l’entier de Gauss lui-même dont on calcule la somme des diviseurs ? Dans le cas des suites aliquotes classiques avec des entiers naturels, on sait qu’il ne faut pas. Cela reviendrait à utiliser le processus itératif n → σ(n) et pas σ’(n), ce qui donne des suite strictement croissantes partant toutes vers l’infini et ne « tombant » jamais sur des cycles. Il ne se passe rien d’intéressant. Cela n’est pas évident dans le cas des suites aliquotes étendues aux entiers de Gauss. Peut-être faut-il compter le nombre lui-même dans la somme de ses diviseurs pour voir apparaître des choses intéressantes !
De plus il existe dans les entiers de Gauss des nombres premiers de Gauss. D’ailleurs, je cite « Tout entier de Gauss différent de 0, est de façon unique exprimable en produit d’une puissance de i et de puissances de nombres premiers de Gauss « positifs ». »
Mais pour bien compliquer les choses, dans l’univers gaussien, le sous-ensemble des nombres premiers à partie imaginaire nulle n’est pas le même que l’ensemble des nombres premiers dans l’univers des entiers naturels. Par exemple 3, 7 et 11 sont des nombres entiers naturels et gaussiens premiers, mais dans l’univers gaussien, 2 = (1 + i)(1 – i), donc 2 se décompose en produit de deux entiers de Gauss premiers. Il en va de même pour 5 = (2 + i)(2 – i) et aussi pour 13 = (3 + 2i)(3 – 2i).

Je crains donc qu’il ne soit pas possible d’étendre les fonctions σ’ ou σ aux nombres complexes sans changer complètement les règles. Le simple exemple suivant le montrera.

Soit la suite aliquote ayant pour départ le nombre 13 dans l’univers des entiers naturels, voici ci-dessous cette suite :

13 → 1

En effet, 13 étant premier, la suite aliquote aboutit à 1 en une itération.

Il en va tout autrement dans l’univers gaussien :

13 → 7 → 1, car la somme des diviseurs de 13 lui-même exclu dans l’univers gaussien est : 1 + (3 + 2i) + (3 – 2i) = 7

Notons que le logiciel Mathematica accepte les nombres complexes dans sa fonction σ, mais que lui, nous donne σ(13) = 6 + 18i si je compte 13 comme diviseur et donc σ’(13) = -7 + 18i si je ne compte pas 13 comme diviseur. Mathematica factorise 13 de la manière suivante si on lui spécifie de le faire dans l’univers des entiers de Gauss : 13=-i(2+3i)(3+2i). Donc, ce logiciel compte i comme diviseur de 13 ! Je ne comprends cependant pas vraiment comment il trouve finalement 6+18i !

Le moins que l’on puisse dire est que dans l’univers gaussien, la notion de suite aliquote est encore plus une histoire de conventions que pour les suites aliquotes classiques dans l’univers des entiers naturels et eux seuls (après tout pour ces dernières c’est aussi un peu le cas, car on pourrait ne pas considérer le diviseur 1, comme dit dans le lien autres processus itératifs. Tout dépend finalement de la manière de factoriser les nombres.

Ce qu’on peut retenir :

Nous pouvons donc dire que nous pourrions étendre la fonction σ’ aux nombres complexes entiers de Gauss, mais que dans ce cas, il faut se fixer des conventions qui semblent « raisonnables » et qu’il faut alors recréer ou reprogrammer la fonction σ de manière à ce qu’elle respecte ces conventions. Signalons surtout qu’il ne semble pas possible de faire « apparaître » l’ensemble des suites aliquotes classiques de l’univers des entiers naturel, comme un sous-ensemble des suites exotiques de l’univers gaussien.

Donc apprendre des choses sur les suites aliquotes dans l’univers des entiers naturels à partir des suites aliquotes dans l’univers gaussien ? Je répondrais impossible ! Mais à explorer ! A explorer surtout les suites aliquotes dans l’univers gaussien même sans relation avec celle de l’univers des entiers naturels. Ce travail me semble plein de promesses et hyper intéressant, mais je crois bien que la tâche est ardue ; je ne me suis pas encore vraiment lancé dans ce travail !

Je voudrais juste rajouter une remarque à part et proposer un système d’équations diophantiennes (on ne cherche donc que des solutions entières).
Soit le nombre complexe entier de Gauss C=x+iy, x et y étant respectivement ses parties réelles et imaginaires. On cherche ses diviseurs complexes entiers de Gauss. On factorise C : C=x+iy=(a+ib)(c+id)=ac-bd+i(ad+bc)
En identifiant les parties réelles et imaginaires, on tombe sur le système d’équations diophantiennes suivant qui doit être tant fondamental en théorie des nombres que difficile à résoudre :

ac – bd = x
ad + bc = y

On a bien sûr ici x et y qui sont des paramètres entiers connus et a, b, c et d qui sont les inconnues entières. Ce système a probablement déjà été étudié par des professionnels, mais je n’ai rien trouvé dessus.

AVIS AUX AMATEURS !

Etendre la fonction σ aux polynômes

L’été 2003, alors que je parlais à Cédric BARRET de « processus itératifs polynomiaux » dont je faisais mention ci-dessus, celui-ci a compris tout à fait autre chose. Ce quiproquo lui a fait avoir une idée à mon avis très riche.

Lui, a compris que je prenais comme valeur de départ ni un entier naturel, ni un entier négatif, ni un entier de Gauss, mais un polynôme. Le reste coulait de source : je factorise ce polynôme (étape qui correspond à la factorisation de l’entier pour les suites aliquotes classiques), et à l’aide de la formule du lien La fonction σ qui marche ici aussi (sauf que ici les pi sont des « facteurs polynômes premiers » ou des polynômes irréductibles), je calcule σ(P), P étant mon polynôme de départ.
Notons que ainsi, lorsqu’on itère, le degré des polynômes successifs ne peut que rester le même ou diminuer, mais jamais augmenter !

Exemple :

Soit P, le polynôme de départ de la suite exotique

P = x² + 2x + 1

On le factorise :

P = (x+1)² et donc ses diviseurs sont : 1, 1 + x et (1 + x)²

D’où, σ(P) = 1 + (x + 1) + (x + 1)²= x² + 3x + 3

Notons qu’à l’aide de la formule du lien la La fonction σ, on aurait trouvé le même résultat :

σ(P) = [(1+x)3-1] / [(1+x)-1] = 3 + 3x + x²

Ce dernier polynôme ne se factorisant pas, on trouvera 1 comme seul de ses diviseurs d’où en résumé la suite « exotique » polynomiale de départ P qui aboutit à 1 au bout de deux itérations :

x² + 2x +1 → x² + 3x + 3 → 1

Ici aussi se posent de très nombreuses questions notamment sur la manière que l’on choisit de factoriser les polynômes.

D’abord, il va de soi que nous n’acceptons comme « diviseurs » que les polynômes à coefficients entiers pour des raisons similaires à celles exposées plus haut avec les entiers de Gauss. Encore que… Peut-être un lecteur (fou) va-t-il essayer ? Je n’ai même pas, moi, le courage de réfléchir à cette question !

Nous aurions aussi pu choisir de factoriser les polynômes dans l’ensemble des nombres complexes, donc de tenir compte des racines complexes mais uniquement les entières de Gauss. Si nous avions fait ce choix dans notre exemple ci-dessus, nous aurions eu la même suite exotique, mais souvent, ce choix peut tout changer.
Pour ceux qui ne sont pas familiers avec ces notions, voici un petit exemple. Le polynôme 1+x² ne se factorise pas usuellement sauf si l’on considère ses racines complexes –i et i :

1 + x² = (x + i)(x – i)

Subsiste de plus la question désormais habituelle : faut-il retrancher à chaque itération le polynôme dont on calcule la somme de ses « diviseurs » (par analogie aux suites aliquotes où l’on ne compte pas le nombre lui-même comme un de ses diviseurs), ce qui n’a d’ailleurs pas été fait ci-dessus ? Si nous l’avions fait ci-dessus, nous aurions eu une autre suite.

Je tiens à signaler encore un autre problème et peut-être encore plus vicieux. En voici un exemple parmi tant d’autres. Soit le polynôme P=6-4x-8x².
- Si on le factorise ainsi, P=2(3-2x-4x²), ses diviseurs hormis lui-même sont 1, 2 et 3-2x-4x² et donc, σ’(P)=1+2+3-2x-4x²=6-2x-4x²
- Si on le factorise ainsi, P=-2(-3+2x+4x²), ses diviseurs hormis lui-même sont 1, 2 (ou -2 ?, ce qui complique encore !) et -3+2x+4x² et donc, σ’(P)=1+2-3+2x+4x²=2x+4x² Inutile de dire que selon notre choix, le devenir de la suite de départ le polynôme P est complètement différent. Ça devient un peu casse-tête !!!

Une fois de plus, les conventions fixées vont influencer complètement l’évolution d’une suite pour un polynôme de départ donné même si la factorisation d’un polynôme est unique à un coefficient près !

Ce qu’on peut retenir :

Nous pouvons donc proposer l’idée suivante : nous pourrions étendre les fonctions σ’ et σ aux polynômes, mais dans ce cas, il faut aussi se fixer des conventions qui semblent « raisonnables ». Il semble possible de faire « apparaître » l’ensemble des suites aliquotes classiques ne considérant que les entiers naturels, comme un sous-ensemble des suites aliquotes de l’univers des polynômes à condition de continuer à faire évoluer la suite polynomiale lorsqu’on tombe sur une constante (donc sur un polynôme de degré 0) en traitant ce polynôme constant par les fonctions σ ou σ’ comme on traite les entiers relatifs.

Quelles pourraient être les conventions « raisonnables » dont je parle plus haut ? En voici quelques-unes que je propose :

- Les polynômes P et –P ont même somme de leurs diviseurs hormis eux-mêmes, tout comme les entiers relatifs n et –n comme nous l’avons vu dans le premier point de cette mise à jour. D’où la règle : σ’(P)=σ’(-P). Ce choix semble raisonnable dès que l’on regarde un exemple.
Si P=2(x²+1), alors ses diviseurs sont 1, 2 et x²+1 d’où σ’(P)=1+2+x²+1=4+x².
Si P=-2(x²+1), alors ses diviseurs sont aussi 1, 2 et x²+1 d’où σ’(P)=1+2+x²+1=4+x².
Mais alors à ce moment-là, on a :
σ(P)=σ’(P)+P=4+x²+2x²+2=3x²+6≠σ(-P)=σ’(-P)+(-P)=4+x²-2x²-2=-x²+2
D’où, si σ’(P)=σ’(-P) alors σ(P)≠σ(-P). La relation entre σ(P) et σ’(P) change à nouveau comme lorsqu’on considérait σ(n), n étant un entier relatif dans la première partie de ce lien.
D’où la plus grande prudence quand on programme la fonction σ’, car en utilisant la formule du lien La fonction σ, nous obtenons σ qui reste alors à modifier habilement suivant les cas !
- Pour éviter le problème cité ci-dessus (exemple du polynôme P=6-4x-8x²), je propose de factoriser les polynômes de manière à ce que leurs facteurs aient toujours un coefficient positif devant leur terme de plus haut degré, quitte à devoir ensuite mettre (-1) en facteur devant tout le polynôme. La bonne factorisation de l’exemple serait donc : P=-2(-3+2x+4x²) et non pas P=2(3-2x-4x²), ce qui nous donne alors une possibilité unique pour σ’(P) !

Cette dernière convention est essentielle, sinon on peut tomber sur la contradiction σ’(P)≠σ’(P) suivant que P soit factorisé de telle ou telle manière. On rajoute ensuite la première convention et le tout me semble cohérent. Il n’est pas exclu que j’oublie une ou des conventions essentielles. Il n’est pas exclu non plus que d’autres conventions puissent faire « apparaître » des choses plus intéressantes dans l’étude de ces nouvelles suites exotiques ! Mais attention de bien éviter l’absurde !

Note 1 : j’ai déjà fait quelques essais et presque tous les polynômes de départ font très rapidement aboutir les suites à 1. Cela parce qu’on tombe très vite sur des polynômes impossibles à factoriser si l’on ne tient pas compte de leurs racines complexes.
Il y a des polynômes triviaux qui « partent vers l’infini », comme par exemple 6x qui s’itère de la façon suivante : 6x → 6(2+x) → 6(4+x) → 6(6+x) →……….
Il en irait de même pour 28x, car 6 et 28 sont des nombres parfaits. Deux minutes de raisonnement convaincront le lecteur.
J’ai de plus cherché en vain des chaînes sans en trouver !
Toutefois, je ne fais que débuter dans ce travail qui est passionnant. Il serait magnifique de trouver une chaîne aliquote dont les maillons soient constitués de polynômes !

Note 2 : sous le logiciel Mathematica (qui cela dit au passage n’accepte pas de traiter les polynômes par sa fonction σ), la liste des facteurs d’un polynôme comprend parfois les facteurs 1 ou -1. Il faut alors prendre des précautions en utilisant la formule du lien La fonction σ pour ne pas obtenir des comportements absurdes de la fonction σ et encore plus de précautions pour en déduire la fonction σ’. Les propositions de conventions « raisonnables » données ci-dessus aident à cela mais ne sont peut-être pas suffisantes ! Si le polynôme a en facteur une constante de valeur absolue différente de 1, il faut aussi prendre des précautions et ne pas considérer cette constante entière comme un nombre premier si elle ne l’est pas ; c’est-à-dire qu’il ne faut pas bêtement la mettre dans la formule du lien La fonction σ. Il faut d’abord calculer la somme de ses diviseurs à elle et ensuite mettre cette somme dans le produit du lien La fonction σ.
Notons enfin que je n’ai encore pas du tout abordé la question de la factorisation en tenant compte des racines complexes entières de Gauss !

Note 3 : Tout cela en attendant d’étendre la fonction σ aux matrices (carrées à éléments entiers ou à éléments polynomiaux à coefficients entiers de Gauss en passant par tous les intermédiaires) !!!
Je ne plaisante qu’à moitié, mais il est possible que la recherche de « diviseurs » d’une matrice (carrée, tout de même !) n’ait pas beaucoup de sens étant donné que l’ensemble des matrices carrées est un anneau non commutatif !
De plus je n’ai trouvé ni dans la dernière version de Maple ni dans celle de Mathematica (versions de 2005), aucune instruction qui « factorise » les matrices. En effet, après avoir réfléchi à la question, j’ai renoncé à faire un tel programme moi-même et les mathématiciens et informaticiens qui travaillent pour les logiciels de calcul formel aussi semble-t-il. J’ai l’impression que la « factorisation » des matrices (si elle a un sens) et pas seulement en produit de deux matrices, mais aussi trois ou plus, est un problème extrêmement ardu !
Pour le moment, je vais donc devoir laisser tomber cette voie d’exploration !

Quelques remarques et exploits calculatoires

• On pourra noter un exploit calculatoire assez remarquable : de mai 2004 à octobre 2004, soit sur 5 mois et un jour (plus de 13 millions de secondes), j’ai lancé un programme qui a fonctionné sans interruption. Le but était de tester tous les polynômes de degré 1 de la forme ax+b avec a et b entiers tels que 1≤a≤10 000 (le cas a=0 est le cas habituel des entiers !) et -10 000≤b≤10 000 soient 200 millions de polynômes, pour voir si on ne tombait pas sur un cycle. La réponse est « non ». On ne tombe que sur 1 et on ne « monte » que vers l’infini à la manière décrite plus haut. Ce qui est remarquable, c’est que sur ces 200 millions de polynômes testés, nombreux furent ceux qui tombèrent sur 1 après 9000 itérations (pour chaque polynôme, j’avais choisi de m’arrêter après 10 000 itérations). Le stockage des itérations d’un seul polynôme pouvait prendre plusieurs Mo de mémoire ; on réalise ainsi le travail colossal effectué par l’ordinateur ! Je précise aussi que ce calcul a été fait sous le système d’exploitation Windows XP et que ma facture d’électricité a doublé pendant cette période. En effet, j’avais à l'époque une grosse tour de 450 W avec 4 ventilateurs. Ainsi, calculer coûte cher et amène un certain stress : j’avais peur à chaque orage que tout soit interrompu, je stressais aux caprices de la météo !

• On démontre aisément qu’un polynôme de degré 1 ne peut pas être le maillon d’une chaîne à un maillon. En effet, soit le polynôme p=λ(ax+b), avec a et b premiers entre eux (tout polynôme de degré 1 peut s’exprimer ainsi).
σ’(p)=σ(p)-p=σ(λ)[(ax+b)²-1]/(ax+b-1)-λax-λb d’après la formule du lien La fonction σ qui s’applique aussi pour les polynômes. On en déduit que σ’(p)=σ(λ)b+σ(λ)-λb+[σ(λ)a-λa]x. Si on veut que p soit le maillon d’une chaîne à un maillon, alors p=σ’(p). Si par conséquent on identifie le polynôme σ’(p) terme à terme avec le polynôme p, on en déduit que 0=2, d’où l’impossibilité de l’égalité p=σ’(p) ! CQFD ! Je n’ai pas cherché à faire cette démonstration pour des polynômes de degré supérieur ou quelconque (ce doit être un travail très intéressant et ça reste à faire !) ni pour des chaînes à plus de un maillon (ce doit être un travail diaboliquement compliqué !).

• On démontre aisément que quand on itère le polynôme de degré 1 de la forme p=λ(ax+b) avec λ un nombre parfait, alors σ’(p)=p+2λ. En effet, σ’(p)=σ(λ)b+σ(λ)-λb+[σ(λ)a-λa]x=λax+λb+2λ, car σ(λ)=2λ si λ parfait. Ainsi, lorsqu’on itère i fois, on obtient p→p+2λ→p+4λ→p+6λ→p+8λ…….→p+2iλ. Or, p+2iλ=λ(ax+b+2i). Il se passe des choses intéressantes (que nous ne détaillerons pas ici, le lecteur pourra faire ses propres essais) quand tout à coup, a et b+2i ne sont plus premiers entre eux ! S’ils le restent toujours, alors la suite « monte » vers l’infini ! (voir précédemment)




Dernière modification : Septembre 2010