Définitions concernant les suites aliquotes

La fonction σ

Soit n un entier naturel.
σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n. C’est une fonction largement étudiée en théorie des nombres.
Par exemple, σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18

Cliquer ici pour en savoir plus sur La fonction σ.

La fonction σ'

Soit n un entier naturel.
σ'(n) est la somme des parties aliquotes de n, c'est-à-dire la somme de ses diviseurs hormis lui-même.
σ'(n) = σ(n) - n
Par exemple, σ'(10) = 1 + 2 + 5 = 8

Les suites aliquotes

Une suite aliquote s’obtient en prenant un nombre entier n de départ et en itérant à chaque étape avec la fonction σ’.
Exemple : La suite aliquote de départ 10 est la suivante : 10 → 8 → 7 → 1
En effet, σ'(10) = 8, σ'(8) = 7 et σ'(7) = 1.

Les séquences de suites aliquotes

Une séquence d'une suite aliquote est un "morceau" ou un "extrait" de cette suite.
On est obligé de distinguer une séquence d'une suite aliquote de la suite aliquote elle-même, car certaines propriétés, comme par exemple la conservation d'un driver ne se retrouvent que sur les termes consécutifs d'une partie de la suite aliquote et non sur l'intégralité de ses termes (voir plus bas, l'exemple des drivers).

Les antécédents aliquotes

Soient n et N des entiers naturels.
Si σ'(N) = n, alors N est un antécédent aliquote de n.

Deux cas sont possibles :
Soit l’entier n peut avoir 0 antécédents aliquotes : il s’agit alors d’un nombre intouchable dont Erdös a démontré qu’il en existe une infinité. Ces nombres sont référencés par Neil Sloane (suite A005114). La suite de ces nombres commence ainsi : 2, 5, 52, 88, 96, …
Soit l’entier n peut avoir un ou plusieurs antécédents aliquotes. La suite d’entiers donnant pour chaque entier naturel son nombre d’antécédents aliquotes est référencée par Neil Sloane : A048138. Elle commence ainsi : 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2 …

Pour déterminer le nombre d’antécédents aliquotes d’un nombre entier n, il faut à priori tester des nombres entiers N compris entre 1 et (n-1)² inclus. Le lecteur comprendra pourquoi en réfléchissant 5 minutes. Mais en prenant quelques précautions, on peut se contenter de tester des entiers entre 1 et n^3/2/2.5. Cela représente un gain de temps inestimable. Nous présentons ici cette méthode de détermination du nombre d’antécédents aliquotes de chaque entier naturel compris entre 1 et le n désiré, méthode qui est pour l'instant la plus rapide que nous ayons trouvée.

Remonter une suite aliquote à l’envers :

Nous avons fait quelques tentatives pour remonter des suites aliquotes à l’envers. Cela est très intéressant, surtout dans le cas particulier des nombres impairs. En effet : si la conjecture de Goldbach est vraie, alors une des conséquences est qu'on peut remonter une suite aliquote à l'envers d’autant d’étapes que l’on veut et de manière strictement monotone ! Pour en savoir plus, cliquer ici : remonter une suite aliquote à l'envers.

Signalons encore que notre intuition nous fait sentir que les suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable semblent fondamentales, car elles ne peuvent être des parties de suites aliquotes plus longues !

Guides de séquences de suites aliquotes :

Le guide d'une séquence d'une suite aliquote est un nombre entier souvent composé que l'on retrouve comme facteur de tous les termes de la séquence en question de la suite aliquote.

Pour formaliser cette notion, Youssef CHTAIBI a proposé la définition suivante que nous adopterons :

Soit une séquence de suite aliquote (voir définition plus haut). Soit nm un terme composé de cette séquence, hormis le dernier terme de la séquence.
Alors m est un guide aliquote sur tous les termes de cette séquence (sauf le dernier) si et seulement si PGCD(n,m)=1 et m divise σ'(nm).
Attention, m doit être pris le plus grand possible. Dans l'exemple ci-dessous, on prendra m=2^3*3*5 et non pas m=2^3 ou m=3 ou m=5 ou m=2^3*3 ou m=2^3*5.

Exemple :

Voici ci-dessous les 20 premiers termes de la suite aliquote qui démarre sur l'entier 19560. On voit immédiatement que le guide de cette séquence de 20 termes est 2³*3*5.

0 . 19560 = 2^3 * 3 * 5 * 163
1 . 39480 = 2^3 * 3 * 5 * 7 * 47
2 . 98760 = 2^3 * 3 * 5 * 823
3 . 197880 = 2^3 * 3 * 5 * 17 * 97
4 . 437160 = 2^3 * 3 * 5 * 3643
5 . 874680 = 2^3 * 3 * 5 * 37 * 197
6 . 1833960 = 2^3 * 3 * 5 * 17 * 29 * 31
7 . 4386840 = 2^3 * 3 * 5 * 139 * 263
8 . 8918760 = 2^3 * 3 * 5 * 74323
9 . 17837880 = 2^3 * 3 * 5 * 23^2 * 281
10 . 38302680 = 2^3 * 3 * 5 * 13 * 43 * 571
11 . 88544040 = 2^3 * 3 * 5 * 13 * 211 * 269
12 . 199945560 = 2^3 * 3 * 5 * 1666213
13 . 399891480 = 2^3 * 3 * 5 * 19 * 175391
14 . 862930920 = 2^3 * 3 * 5 * 173 * 197 * 211
15 . 1766445720 = 2^3 * 3 * 5 * 13 * 31 * 36527
16 . 4124790120 = 2^3 * 3 * 5 * 11 * 1579 * 1979
17 . 9389897880 = 2^3 * 3 * 5 * 11 * 7113559
18 . 21340681320 = 2^3 * 3 * 5 * 7 * 643 * 39511
19 . 51943015320 = 2^3 * 3 * 5 * 7 * 61836923

Drivers de séquences de suites aliquotes :

Le driver d'une séquence de suite aliquote est un guide qui persiste de manière encore plus efficace qu'un simple guide dans les termes successifs d'une suite aliquote. La notion de driver a été définie précisément par Richard K. Guy et John L. Selfridge dans un article dans Mathematics of computation, Volume 29, Number 129, january 1975, pages 101 - 107 :
Mathematics of Computation in 1975 by Richard K Guy and John Selfridge.
La preuve du deuxième théorème de l'article précédent a été corrigée dans un deuxième article, dans Mathematics of computation, Volume 34, Number 149, january 1980, pages 319 - 321.

Il apparaît au final que les seuls guides que l'on peut appeler des drivers sont tous les nombres entiers parfaits, comme 6=2*3 ou 28=2^2*7 ou 496=2^4*31 ou 8128=2^6*127 ou 33550336=2^12*8191 (...) plus les cinq entiers ci-dessous :
2
24=2^3*3
120=2^3*3*5 (premier nombre 3-parfait)
672=2^5*3*7 (deuxième nombre 3-parfait)
523776=2^9*3*11*31 (troisième nombre 3-parfait)

"Downdrivers" de séquences de suites aliquotes :

Un downdriver de séquence de suite aliquote est un guide que l'on retrouve sur les termes successifs de la séquence de la suite aliquote alors que la suite aliquote voit ses termes diminuer. Un downdriver est un nombre composé m=2*r, r étant un grand nombre premier ou le produit de grands nombres premiers. "Grands" signifie ici strictement plus grand que 3. Les downdrivers semblent moins "stables" que les drivers ou certains guides.

Dernière modification : 1 mai 2017