Les suites aboutissant sur une chaîne aliquote
et chaînes aliquotes isolées
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Suites aboutissant sur une chaîne aliquote
Beaucoup de suites aliquotes aboutissent sur une chaîne aliquote.
Par exemple la suite aliquote démarrant sur l’entier 25 aboutit sur la chaîne aliquote à un maillon, le nombre parfait 6, au bout de 1 itération.
25 → 6 → 6 …
Il existe des chaînes aliquotes à 1 maillon : les nombres parfaits comme par exemple 6, 28, 496, 8128..., voir autres sites. La suite aliquote donne alors indéfiniment à chaque itération le même nombre comme dans l'exemple : 28 → 28 → 28 → ...
Il existe des chaînes aliquotes à 2 maillons : les nombres amiables comme par exemple 220 et 284, voir autres sites. La suite aliquote oscille alors indéfiniment entre les deux nombres amiables : 220 → 284 → 220 → 284 → ...
Il existe des chaînes aliquotes à 4, 5, 6, 8, 9 ou 28 maillons. Voir pour cela les autres sites. Un bel exemple serait ici la chaîne aliquote à 5 maillons commençant par 12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 → 12496 → ...
Il en existe sûrement encore de nombreuses inconnues, voire une infinité ! On s'amusera cependant de constater qu'avec la puissance de calcul dont nous disposons aujourd'hui, nous n'avons trouvé aucune chaîne aliquote à 3 maillons, ni à 7 maillons dont rien n'interdit l'existence !
Les chaînes aliquotes isolées
Dans son article de février 2002 dans Pour la Science, Jean-Paul Delahaye définit la notion de « graphe infini des suites aliquotes ».
Une chaîne aliquote isolée est une chaîne aliquote complètement isolée sur le graphe infini des suites aliquotes. Il y en a une très simple à trouver : c’est la chaîne aliquote à un maillon 28 (qui est donc un nombre parfait). En effet, contrairement à 6 sur lequel « tombent » de nombreuses suites aliquotes, 28 n’a aucune suite aliquote qui aboutisse à lui-même autre que celle démarrant sur lui-même. 28 n’a qu'un seul antécédent aliquote : c’est lui-même.
Il y a des chaînes aliquotes isolées à 2 maillons. Ce sont des paires de nombres amiables dont chaque membre du couple n’a qu'un seul antécédent : son ami ! On pourra voir ces chaînes en cliquant sur ce lien, chaînes aliquotes isolées, qui donne plus de détails sur les chaînes aliquotes isolées.
Ces chaînes aliquotes isolées sont difficiles à trouver à cause de la puissance de calcul nécessaire pour trouver le nombre d'antécédents aliquotes de tous les entiers jusqu’à un entier n pris tel que tous les membres de la chaîne aliquote à examiner soient inférieurs à n. Mais il y a une astuce qui permet de contourner ce problème, voir plus bas les travaux de Adrew R. BOOKER.
Existe-t-il d'autres suites aliquotes isolées que les chaînes aliquotes isolées ?
OUI.
Certaines chaînes aliquotes sont "rejointes" par d'autres suites aliquotes dont les termes ne font pas partie de la chaîne aliquote. Mais si l'on remonte à l'envers chacun de ces termes et que l'on ne tombe finalement que sur des nombres intouchables, on aura un "ilot" de suites aliquotes rejoignant une chaîne aliquote qui ne pourra être rejoint par aucune autre suite aliquote. On aura une partie du graphe infini des suites aliquotes complètement isolée de toutes les autres plus grande qu'une simple chaîne aliquote.
La recherche de telles suites aliquotes n'est pas à notre portée à nous, mais à celle d'un mathématicien professionnel !
Andrew R. BOOKER a réussi un tour de force. Il a écrit un programme dont nous n'avons pas saisi le principe qui calcule les antécédents aliquotes des nombres jusqu'à 10^17, mais pas de tous les nombres inférieurs à cette limite : il ne s'agit pas d'un crible. Le calcul n'est fait que pour un nombre donné en très peu de temps. Il mentionne bien qu'il a eu l'idée de faire ces travaux suite à la visite de notre site à nous !
L'article mentionnant ses travaux peut se trouver ici : Algorithme de Andrew R. BOOKER.
La page présente des suites aliquotes complètement isolées sur le graphe infini des suites aliquotes dont nous n'avions même pas imaginé l'existence ! C'est un véritable enchantement pour l'esprit curieux du mathématicien aliquote !
Signalons que les chaînes aliquotes isolées sont les seules qui ne peuvent être des parties d’aucune autre suite aliquote tout comme les suites aliquotes qui démarrent sur un nombre intouchable. Elles sont donc fondamentales !
On en déduit une propriété fondamentale du graphe infini des suites aliquotes : il n’est pas connexe.
L'étude, fondamentale, des propriétés de ce graphe infini des suites aliquotes doit être autant passionnante que compliquée ! Personne dans notre équipe n'a osé s'attaquer à ce problème, ci ce n'est avec la recherche des chaînes aliquotes isolées et des suites aliquotes démarrant sur des nombres intouchables.
Dernière modification : 2 janvier 2017