Autres processus itératifs

Tentative de généralisation, d’autres types de suites :

σ(n) est la somme de tous les diviseurs de n, y compris 1 et lui-même. Et σ’(n) est la somme des parties aliquotes de n, donc de tous ses diviseurs excepté lui-même.
Quant aux suites aliquotes, elles s’obtiennent en appliquant un processus itératif à partir d’un nombre de départ, qui sera noté : n → σ’(n). En effet, si nous appliquions le processus itératif n → σ(n), toutes les suites (alors non aliquotes) partiraient très vite vers l’infini et aucune ne « tomberait » dans une chaîne ou « n’aboutirait quelque part », comme les suites aliquotes qui aboutissent à 1. Avec ce processus itératif, il ne se passerait rien de très intéressant, du moins en apparence !
On peut naturellement songer à supprimer le diviseur 1 lorsqu’on fait la somme des parties aliquotes. Il est en effet diviseur de tous les entiers, alors pourquoi le considérer au lieu de l’omettre ? Cela revient en fait à étudier des suites (non aliquotes) obtenues en appliquant le processus itératif suivant : n → σ’(n)-1. On a bien sûr essayé de le faire pour tous les entiers de 1 à 1 000 000 000. Et nous avons constaté avec étonnement, qu’il n’y avait que des suites qui aboutissaient (mais à 0 et pas à 1, car pour tout nombre premier p, σ’(p)-1 = 0) et que des suites qui « tombaient » sur des chaînes à 2 maillons ou à 8 maillons. Sur ces 1 000 000 000 suites testées, 987 914 792 aboutissent à 0, 12 085 208 aboutissent sur une chaîne à 2 ou 8 maillons (exactement sur 182 chaînes différentes à 2 maillons et une chaîne à 8 maillons dont un des constituants est 1 270 824 975). Aucun autre cas du moins en dessous de 1 000 000 000 : pas de suites à statut inconnu, dont les valeurs grandiraient indéfiniment !

Des suites "exotiques" :

L’idée a alors été d’explorer le comportement des familles de suites non aliquotes obtenues par application du processus itératif suivant :
n → σ’(n)+b, b étant un entier relatif !
Pour b = 0, on retrouve bien sûr les suites aliquotes traditionnelles.
Précisons que le terme de suite aliquote reste réservé au cas où b = 0.
Pour b = -1, on retrouve les suites obtenues en ne tenant pas compte du diviseur 1 dont nous parlions précédemment.

Et ensuite, il y a toutes les autres suites !

On aurait pu supposer qu'en faisant ainsi varier b, on aurait peut-être pu déduire des propriétés sur les familles de suites, propriétés dépendantes du choix de b, par exemple se retrouvant pour tous les b pris pairs, ou impairs, ou premiers ou autre. Cela nous aurait peut-être permis d’émettre de nouvelles conjectures non démontrées, qui nous auraient peut-être aidé à prévoir quels types de chaînes se retrouvent pour un b donné, donc aussi pour b = 0 (cas des suites aliquotes) ! Il s’agissait en fait de pouvoir prévoir des choses sur les suites aliquotes sans avoir à faire les calculs !

On a donc écrit un programme pour toutes les valeurs de b comprises entre –1 et 79, plus pour les deux valeurs de b étant égales à 999 et à 1000. Pour chacun de ces b, on calcule les suites ayant pour valeurs initiales les entiers de 5 à 1 000 000 et on compte combien d’entre elles aboutissent, combien d’entre elles tombent sur telle ou telle chaîne, et combien d’entre elles sont d’éventuelles candidates pour « monter » vers l’infini (ou autrement dit, des suites à statut inconnu) !

Voici les résultats pour b = -1 et pour b = 0 (bien connu déjà) :

n → σ’(n) -1
aboutissant à 0 : 982096
2 : 17900

n → σ’(n) + 0
aboutissant à 1 : 735279
0 : 248524
1 : 6391
2 : 8953
4 : 3
5 : 150
28 : 696

Comment lire ces données ?

Pour b = -1 :

Sur tous les entiers de 5 à 1 000 000 (voir plus haut, calculs faits jusqu'à 1 000 000 000), il y en a 982 096 qui sont le départ d’une suite aboutissant à 0 et 17 900 qui sont le départ d’une suite qui tombe sur un cycle 2 (les « nombres amis » de cette nouvelle famille de suites ne sont bien entendu pas les mêmes que ceux des suites aliquotes : les nombres amis de Pythagore) !

Pour b = 0 :

Sur tous les entiers de 5 à 1 000 000, il y en a 735 279 qui sont le départ d’une suite aboutissant à 1, 6391 tombant sur une chaîne à 1 maillon (ici sur un nombre parfait, car b = 0 ), 8953 tombant sur une chaîne à 2 maillons (ici sur un couple de nombres amis de Pythagore), 3 tombant sur une chaîne à 4 maillons, 150 tombant sur une chaîne à 5 maillons, 696 tombant sur une chaîne à 28 maillons et 248 524 qui sont des suites à statut inconnu !

Attention : lorsque nous disons par exemple que pour b = 0, pour tous les entiers jusqu’à 1 million, nous en avons 696 qui tombent sur une chaîne à 28 maillons, cela ne veut pas dire qu’il existe 696 chaînes différentes à 28 maillons. D’ailleurs nous savons qu’il n’y en a qu’une !
C’est pareil pour les autres chaînes. Il ne faut pas confondre le nombre de chaînes différentes à n maillons et le nombre de suites qui tombent sur ces chaînes à n maillons, normalement plus important. Ainsi, nous ne donnons pas ici le nombre de chaînes différentes à n maillons, mais bien le nombre de suites qui y tombent !
De même, il y a en réalité moins de suites à statut inconnu que celles dénombrées ici, mais comme le programme a été écrit en C++, il a fallu arrêter les suites dès qu’on a dépassé des nombres plus grands que ceux pouvant être codés sur 31 bits et même un peu moins par sécurité.

Voici quelques autres de ces données que l’on peut comprendre grâce aux deux exemples expliqués précédemment (ne figurent que quelques exemples représentatifs à priori !) :

n → σ’(n) + 1
aboutissant à 2 : 982385
1 : 17349
2 : 262

n → σ’(n) + 2
aboutissant à 3 : 582542
0 : 340871
1 : 9404
2 : 8901
3 : 4627
4 : 59
8 : 50805
17 : 2787

n → σ’(n) + 3
aboutissant à 4 : 992597
2 : 7380
4 : 2
6 : 17

n → σ’(n) + 4
aboutissant à 5 : 581646
0 : 1851
1 : 344887
2 : 52374
3 : 17858
4 : 1380

n → σ’(n) + 5
aboutissant à 6 : 959758
1 : 1
2 : 2312
4 : 11
6 : 37914

n → σ’(n) + 6
aboutissant à 7 : 724744
0 : 93426
1 : 3110
2 : 67466
3 : 40484
4 : 852
5 : 69914

n → σ’(n) + 7
aboutissant à 8 : 993640
1 : 5861
2 : 495

n → σ’(n) + 8
aboutissant à 9 : 797084
0 : 132390
1 : 4464
2 : 39327
4 : 340
6 : 18
12 : 26373

n → σ’(n) + 9
aboutissant à 10 : 953204
2 : 46253
4 : 42
6 : 260
8 : 237

n → σ’(n) + 10
aboutissant à 11 : 752640
0 : 647
1 : 63
2 : 246195
4 : 213
5 : 14
6 : 66
7 : 128
8 : 30

n → σ’(n) + 11
aboutissant à 12 : 993203
1 : 6
2 : 6787

n → σ’(n) + 12
aboutissant à 13 : 557420
0 : 121913
1 : 125116
2 : 2631
3 : 174964
4 : 17952

n → σ’(n) + 13
aboutissant à 14 : 975089
2 : 24903
3 : 4

n → σ’(n) + 14
aboutissant à 15 : 615999
0 : 355505
1 : 12270
2 : 6849
3 : 63
4 : 363
5 : 8479
17 : 213
36 : 255

n → σ’(n) + 15
aboutissant à 16 : 967994
2 : 32002

n → σ’(n) + 32
aboutissant à 33 : 542941
0 : 260489
1 : 301
2 : 33136
3 : 72
4 : 690
6 : 14424
12 : 4759
13 : 15040
24 : 25114
178 : 103030

n → σ’(n) + 38
aboutissant à 39 : 619445
0 : 326544
1 : 11227
2 : 21881
3 : 5018
4 : 8447
6 : 237
8 : 1164
48 : 7
298 : 6026

n → σ’(n) + 999
aboutissant à 1000 : 944296
2 : 36538
4 : 3740
6 : 15422

n → σ’(n) + 1000
aboutissant à 1001 : 689835
0 : 10419
1 : 40258
2 : 101206
3 : 15
4 : 263
5 : 174
6 : 35334
8 : 71
10 : 116622
114 : 5799

A la vue de ces données, on remarque immédiatement qu’on n’a des suites à statut inconnu que pour les valeurs de b qui sont paires. Cela « se comprend » à la lumière de ce que nous avons observé sur les suites aliquotes. En effet, pour ces dernières, seules des suites commençant par des nombres pairs par ailleurs assez rares sont des suites aliquotes à statut inconnu qui n’ont semble-t-il que des termes pairs. Si b est impair, à chaque itération en le rajoutant à σ’(n), on « casse la parité », ce qui nous fait « quitter » la suite à statut inconnu. Ce raisonnement me paraît valable, mais on ne sait jamais !

Il est très difficile de tirer d’autres conclusions et il faudrait aller beaucoup plus loin dans les calculs pour voir par exemple si lorsque b = -1 ou +15, il n’y a effectivement que des chaînes à deux maillons !
On peut peut-être aussi remarquer que toutes les longueurs de chaînes semblent possible pour les b pairs alors que pour les b impairs, ce n’est peut-être, mais alors vraiment peut-être, pas le cas… ! !
Notons encore comme le nombre de maillons d’une chaîne peut être élevé : 298 maillons pour au moins une chaîne lorsque b = +38 !
Enfin, j’ai constaté une chose très curieuse en ce qui concerne les temps de calcul : ils étaient vraiment très long pour les valeurs de b étant égales à 2 modulo 6 : 20 heures de calcul contre 30 minutes pour certaines valeurs impaires de b !

Donc même si l’idée de départ aurait pu être bonne, on n’arrive pas semble-t-il à tirer de conclusions sur les différents comportements des « suites exotiques » lorsque b varie : pas de belle conjecture à énoncer pour le moment !

Quel(s) test(s) d’arrêt ?

Pour un b donné, on arrête la suite et on la considère comme « aboutissante » lorsqu’on tombe sur le nombre 1+b. en effet : pour p premier, σ’(p)+b = 1+b. On pourrait choisir un autre test d’arrêt, mais je ne sais pas trop lequel ! Cela change effectivement tout. Quel test d’arrêt faut-il prendre ?

Exemples :

• Avec b = 8 (processus itératif n → σ’(n)+8), calculons la suite issue de 10 :

10 → 16 → 23 → 9 → 12 → 24 → 44 → 48 → 84 → 148 → 126 → 194 → 108 → 180 → 374 → 282 → 302 → 162 → 209 → 39 → 25 → 14 → 18 → 29 → 9……

Avec le test d’arrêt à b+1 = 8+1 = 9, cette suite issue de 10 aboutit à l’index 3. Sans ce test d’arrêt, on tombe à partir de l’index 3 sur une chaîne à 21 maillons, qui comprend le nombre 9 !

• Mais il n’en est pas toujours ainsi : avec b = 41, le test d’arrêt bloquerait tout lorsqu’on tombe sur b+1 = 41+1 = 42, juste après être tombé sur un nombre premier. Si l’on supprime le test d’arrêt, la suite évolue ainsi :

42 → 95 → 66 → 119 → 66 → 119……

On tombe ainsi sur une chaîne à 2 maillons ne contenant pas 42.

• Enfin, dernier exemple, si nous prenons b = 24, et si nous supprimons le test d’arrêt lorsqu’on tombe sur b+1 = 25, nous « partons » vers de très grands nombres. Voici le début de cette suite à statut inconnu à partir de 25 :

25 → 30 → 66 → 102 → 138 → 174 → 210 → 390 → 642 → 678 → 714 → 1038 → 1074 → 1110 ……

Si l’on pousse le calcul à l’aide de « Mathématica », un logiciel qui traite les très grands entiers, on s’aperçoit qu’on est ici en face d’une candidate susceptible d’être une suite à statut inconnu. Mais ce qui est spécial dans ce cas où b = 24, c’est que dès qu’on tombe sur un nombre premier p, on tombe ensuite sur σ’(p)+b = 1+24 = 25 et donc on tombe sur cette suite à statut inconnu !

Ces trois exemples nous montrent à quel point le choix du test d’arrêt peut changer les choses !

D’ailleurs pour les suites aliquotes il en est de même. Ce n’est que par convention que l’on s’arrête lorsqu’on atteint 1 ! Sans test d’arrêt, on tomberait sur σ’(1) = 0 puis ensuite sur σ’(0) qui est pris égal à 0 et ainsi de suite, mais qui devrait en toute rigueur être pris égal à l’infini, car 0 admet tout les entiers comme diviseurs hormis lui-même !

Pour les « suites exotiques », sans le test d’arrêt lorsqu’on tombe sur b+1, on aurait alors des valeurs de b pour lesquelles nous n’aurions que des suites tombant sur des chaînes et aucune aboutissante ou alors que des suites tombant sur des chaînes et partant vers l’infini. Ceci dit il pourrait être intéressant des supprimer les test d’arrêts et de regarder de plus près ce qui se passe alors ! Des choses intéressantes apparaîtraient peut-être !

Dans le cas de b inférieurs à –1, le choix des tests d’arrêts se complique encore, ce qui fait que je n’ai pas fait d’essais.

Quels protocoles d'étude des suites exotiques ?

Il serait très intéressant d’établir un protocole d’étude des suites exotiques, mais quels critères pertinents examiner ? Les possibilités sont là infinies !
De plus, on peut encore changer et compliquer les processus itératifs !!!
Nous n'avons pas vraiment réfléchi à cette question étant donnée l'étendue du problème !!!

Dernière modification : Février 2014