Exemples d'utilisation de la base de données fondamentale
sur les suites aliquotes
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Exemples d'utilisation de la base de données fondamentale sur les suites aliquotes
Cette base de données fondamentale, ainsi que les 3 fichiers complémentaires sont des outils puissants pour trouver des suites aliquotes ayant
des caractéristiques spéciales ou pour repérer les rencontres (merge en anglais) de suites aliquotes Open-End. Ce dernier problème des rencontres de suites aliquotes est récurrent
sur les bases de données répértoriant les suites aliquotes, comme www.factordb.com.
Tous les exemples ci-dessous sont donnés avec la base de données fondamentale sur les suites aliquotes complétée, jusqu'à L=10000000.
Cela signifie qu'au moment de la lecture des données, la base de données mémorisait les données pour toutes les suites aliquotes qui commencent par 2, 3, ..., 10000000.
Au fur et à mesure que le temps passera, L va augmenter, mais cela se fera toujours plus lentement à cause de la croissance de la taille des fichiers complémentaires, ce qui ralentit les calculs.
Attention, il est bon de savoir que dans cette base de données, une suite aliquote a été considérée comme Open-End dès que ses termes ont atteint la taille de 10^50.
Cette présentation n'est pas exhaustive. En effet, pour afficher une ligne du tableau fondamental "regina_file", on peut faire varier à l'infini les conditions sur les nombres n, a, b, c, ..., m qui caractérisent une suite aliquote.
Rappel : une ligne du tableau fondamental "regina_file" contient 13 nombres (a, b, ...., m) caractérisant la suite aliquote commençant par le nombre n.
Cette ligne est ainsi écrite : [n, a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m]
Se reporter sur la page Base de données fondamentale pour avoir les explications sur ces 13 nombres.
Voici quelques exemples de ce que nous pouvons "regarder".
Nombres premiers champions pour les suites aboutissant à 1
666638 suites aliquotes aboutissent sur le nombre premier 43.
456843 aboutissent sur le nombre premier 59.
437318 aboutissent sur le nombre premier 41.
Notons qu'il serait très intéressant d'écrire un programme qui comptabilise les apparitions de tous les nombres premiers dans les décompositions de tous les termes de toutes les suites aliquotes le plus loin possible.
Sans surprise, ce seraient certainement 2, 3, 5, 7... dans l'ordre qui seraient les champions, mais si ce n'était pas le cas ? Et s'il y avait des "pics de haute présence" pour certains nombres premiers ?
MAIS, écrire un tel programme demanderait une RAM phénoménale pour examiner toutes les suites aliquotes jusqu'à par exemple 1 million et disons en s'arrêtant à 10^50 pour la taille des termes...
Nous n'avons pas encore osé écrire ce programme !
Nombre premiers de taille record pour les suites aboutissant à 1 (il y en a d'autres)
69 suites aliquotes aboutissent sur le nombre premier 4737865361.
29 suites aliquotes aboutissent sur le nombre premier 6781098529.
5 suites aliquotes aboutissent sur le nombre premier 14604141802777.
Nombres de départ champions de suites Open-End rejointes par d'autres suites aliquotes (Open-End merge)
57722 suites aliquotes rejoignent la suite aliquote Open-End qui commence par 660.
36872 suites aliquotes rejoignent la suite aliquote Open-End qui commence par 3876.
30022 suites aliquotes rejoignent la suite aliquote Open-End qui commence par 7044.
Chaînes aliquotes championnes rejointes par d'autres suites aliquotes (Cycle merge)
46150 suites aliquotes rejoignent le nombre parfait 6.
11071 suites aliquotes rejoignent le nombre parfait 8128.
60040 suites aliquotes rejoignent la paire amiable (1184, 1210).
6543 suites aliquotes rejoignent l'unique chaîne aliquote connue à 28 maillons.
Record du nombre de maximums relatifs dans une suite aliquote
7797440 est une suite aliquote à 234 maximums relatifs tant que ses termes restent inférieurs à 10^50. Si l'on va plus loin dans les calculs, on peut parier que ce nombre de maximums va encore augmenter.
Record du nombre de changements de parité dans une suite aliquote
6175225 et 6713281 sont les seuls nombres inférieures à L=10000000 qui sont des départs de suites aliquotes qui ont 6 changements de parité dans leurs termes (dont la taille ne pépasse pas 10^50).
Ces deux suites aliquotes se terminent en 1.
Nombre record de termes pairs consécutifs strictement décroissants dans une suite aliquote
7859016 et 8224056 ont 155 termes pairs consécutif décroissants.
Ces deux suites aliquotes rejoignent la suite Open-End 402024.
Nombre record de termes impairs consécutifs strictement croissants dans une suite aliquote
2551185 a 6 termes consécutif impairs strictement croissants.
Il y a 3 autres telles suites, mais comme 2551185, elles se terminent sur le nombre premier 23 et doivent donc toutes se rencontrer peut-être longtemps avant, à vérifier !
Suites aliquotes strictement croissantes (sauf pour le 1 final !!!) qui se terminent (donc sur un nombre premier)
Il en existe plusieurs dont en voici 2 à respectivement 3 et 2 termes ; ces deux suites aliquotes sont ici représentées dans leur intégralité car très courtes.
127680 ---> 360000 ---> 929431 ---> 1
8294400 ---> 22430041 ---> 1.
Suites aliquotes à plus forte croissance moyenne
7130592 et deux autres suites ont un coefficient de croissance moyen de plus de 3 jusqu'à 10^50.
Ces trois suites rejoignent toutefois la même suite Open-End 2607136.
Plus grand quotient de deux termes consécutifs (suivant/précédent)
3779910 a deux termes consécutifs dont le quotient dépasse 4,54 !
Autres possibilités d'utilisation de la base de données fondamentale
On peut aussi par exemple chercher des suites aliquotes en forme de cloche.
Il suffit de dire dans notre requête que l'on veut les suites aliquotes qui ont un seul maximum et qui se termine en 1.
Mais si l'on dit uniquement cela, on va avoir plein de suites aliquotes qui sont strictement décroissantes (donc avec un faible coefficient moyen de croissance),
dont juste la fin va avoir un maximum relatif avec par exemple la fin de suite aliquote :
40 ---> 50 ---> 43 ---> 1.
Il faut donc rajouter la contrainte que le coefficient moyen de croissance est proche de 1 afin que dans toute la suite, on ait autant de croissance que de décroissance. Et cela marche très bien !
2174880 ou 4162536 sont des départs de suites aliquotes en "forme de cloche".
Mais l'une des plus grandes utilités de cette base de données est certainement l'identification des rencontres (merge) de suites aliquotes Open-End.
Dans le tableau fondamental "regina_file", on peut prendre n'importe quel "n" dans le tableau et si "a"=0 (donc si elle est Open-End), on regarde si "c" est égal à "n" (dans ce cas, pas de merge) ou si "c" est plus petit que "n".
Dans ce dernier cas, la suite aliquote commençant par "n" rejoint au bout de "b" itérations la suite aliquote commençant par "c".
Attention, certaines suites aliquotes qui n'en rencontrent pas d'autres dans cette base de donnée fondamentale peuvent en rencontrer sur d'autres bases de données qui ont calculé les termes plus "loin" que 10^50.
La rencontre peut avoir lieu soit au-delà de 10^50, mais c'est très rare, soit la suite aliquote redescend plus tard vers de petits termes pour rencontrer une autre suite aliquote Open-End (ou se terminant d'ailleurs !)
qui démarre sur un nombre plus petit que "n".
Dernière modification : 8 septembre 2018