Les suites aliquotes


Base de données


Aliquot sequences


Data base







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Les antécédents aliquotes de tous les entiers de 1 à 100 000
(aliquot antecedents of the integers from 1 to 100 000)
 :



Télécharger (download) les antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 100 000.

Ce tableau commence ainsi :
[[0], [1], [2], [3, 4], [4, 9], [5], [6, 6, 25], [7, 8], [8, 10, 49], [9, 15], [10, 14], [11, 21], [12, 121], [13, 27, 35], [14, 22, 169] .......
Pour le premier élément du tableau ([0]), les données n'ont aucun sens.
Pour le deuxième élément du tableau ([1]), en toute rigueur, on devrait avoir : [1, 2, 3, 5, 7, 11, 13.....], c'est-à-dire 1, suivi de tous ses antécédents aliquotes, l'ensemble infini des nombres premiers, car tous les nombres premiers sont des antécédents aliquotes de 1. Mais pour des raisons évidentes, il est inutile de stocker ici l'ensemble des nombres premiers.
A partir du troisième élément du tableau ([2]), les données sont rigoureuses.
[2] signifie que 2 est un nombre intouchable et n'a donc aucun antécédent aliquote (à sa droite).
[3, 4] signifie que 3 a un seul antécédent aliquote qui est 4.
[4, 9] signifie que 4 a un seul antécédent aliquote qui est 9.
[5] signifie que 5 n'a aucun antécédent aliquote, c'est un nombre intouchable.
[6, 6, 25] signifie que 6 a 2 antécédents aliquotes qui sont 6 et 25.
............
[13, 27, 35] signifie que 13 a 2 antécédents aliquotes qui sont 27 et 35.
............
Ce tableau contient 100 000 éléments qui sont donc eux-mêmes des tableaux dont la première valeur est un entier et les suivantes à côté (s'il y en a), ses antécédents aliquotes. Si l'entier est seul, alors c'est un nombre intouchable sans antécédents aliquotes.




Nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers de 1 à 10 000 000 et pour tous les entiers de 1 à 50 000 000
(number of aliquot antecedents of the integers from 1 to 10 000 000 and of the integers from 1 to 50 000 000)
 :
Neil Sloan A048138, but more here !



Télécharger (download) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 10 000 000.

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
{569493438, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 2, .......
Si 1 a tant d'antécédents aliquotes dans ce tableau, c'est parce que tous les nombres premiers sont ses antécédents et que pour obtenir ce tableau, il a fallu tester jusqu'à une certaine limite en deça de laquelle il y avait autant de nombres premiers. En toute rigueur, il devrait y avoir marqué "Infinity" à côté de 1.
ATTENTION : 1 est le seul entier de ce tableau pour lequel le nombre d'antécédents est donc inexacte !
Ensuite, comme l'indique le tableau, 2 n'a pas d'antécédent aliquote, 3 en a un (qui est 4), 4 en a un (qui est 9), 5 n'en a pas, etc...
Ce tableau contient donc 10 000 000 d'entiers en mémoire.


Télécharger (download) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers jusqu'à 50 000 000.

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
{0, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 2, .......
ATTENTION : une seule valeur de ce tableau est fausse : la toute première qui ne vaut pas 0 mais le nombre infini, car 1 a une infinité d'antécédents aliquotes, tous les nombres premiers.
Ensuite, comme l'indique le tableau, 2 n'a pas d'antécédent aliquote, 3 en a un (qui est 4), 4 en a un (qui est 9), 5 n'en a pas, etc...
Ce tableau contient donc 50 000 000 d'entiers en mémoire.
Il a fallu plus de deux années entières de calcul pour l'obtenir sur un thread : de février 2013 à mai 2015 !
Over 2 years to get calculation on one thread !




Nombre d'antécédents aliquotes pour tous les nombres pairs jusqu'à 250 000 000 ou 500 000 000
(number of aliquot antecedents of the even numbers from 0 to 250 000 000 or 500 000 000)
 :



Télécharger (download) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers pairs jusqu'à 250 000 000.
Télécharger (download) le nombre d'antécédents aliquotes pour tous les entiers pairs jusqu'à 500 000 000.

Ces tableaux sont en format texte et commencent ainsi :
[0, 0, 1, 2, 2, 1, 1, ...............]
Le premier 0 est là pour le nombre d'antécédents de 0 qui n'a probablement pas de sens.
puis viennent :
0 car 2 n'a aucun antécédent aliquote
1 car 4 n'en a qu'un (qui est 9)
2, car 6 en a deux (qui sont 6 et 25)
Etc...
Ces tableaux ont donc respectivement 125 000 001 valeurs en mémoire et 250 000 001 valeurs en mémoire.




Nombres amis intouchables
Untouchable amicable numbers
A238382
 :



Télécharger les 186 premiers termes (download the 186 first terms)

Ce tableau est en format texte et commence ainsi :
[356408, 399592, 643336, 652664, 5232010, 5799542, 9363584, 9437056, 10596368 ...............]
Voir le programme en langage Python permettant d'obtenir ces nombres.




Base de données fondamentale sur les suites aliquotes : informations sur toutes les suites aliquotes qui commencent par tous les entiers n pour n de 2 à L=8400000 (voir date de mise à jour en bas de page)
(Fundamental data base on aliquot sequences : informations about all aliquot sequences from 2 to L=8400000)
 :



La base de données fondamentale

Télécharger (download) les données pour toutes les suites aliquotes de 2 à L.

Forme générale de chaque ligne de cette base de données :
[n,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m]
n : nombre entier départ de la suite aliquote.
a : entier relatif qui vaut 1 si la suite aliquote de départ n aboutit à 1, qui vaut 0 si la suite est open-end, qui est négatif si la suite tombe sur une chaîne aliquote de |a| maillons.
b : nombre d'itération à l'arrêt du calcul de la suite aliquote. On arrête le calcul si on aboutit à 1, si l'on tombe sur une chaîne aliquote ou si les termes sont supérieurs à 10^50 et on la considère donc comme une suite open-end (ou si la suite rencontre un terme de 25 chiffres d'une suite open-end déjà calculée précédemment, pour diminuer les temps de calcul).
c : si a vaut 1, c est le nombre premier sur lequel est tombée la suite de départ n. Si a vaut 0, c est le plus petit entier départ de la suite open-end rejointe par la suite de départ n. Si a est négatif, c est l'entier de la chaîne aliquote par lequel la suite de départ n est rentrée dans cette chaîne.
d : si a vaut 1, d dit pour combien d'autres suites on est déjà tombé sur le nombre premier c, y compris la suite de départ n. Si a vaut 0, d dit pour combien d'autres suites on est déjà tombé sur la open-end commençant par c, y compris la suite de départ n. Si a est négatif, d dit pour combien d'autres suites on est déjà tombé sur la même chaîne aliquote, y compris la suite de départ n.
e : nombre de maximums relatifs rencontrés dans la suite de départ n.
f : nombre de changements de parité rencontrés dans la suite de départ n.
g : nombre record de termes consécutifs pairs strictement croissants dans la suite de départ n.
h : nombre record de termes consécutifs pairs strictement décroissants dans la suite de départ n.
i : nombre record de termes consécutifs impairs strictement décroissants dans la suite de départ n.
j : nombre record de termes consécutifs impairs strictement croissants dans la suite de départ n.
k : moyenne des su+1(n)/su(n), c'est-à-dire moyenne de tous les quotients de deux termes consécutifs de la suite de départ n, sauf du dernier quotient si a=1 (ce dernier quotient est l'unique si n est premier et dans ce dernier cas, on le compte quand même). On fait la somme de tous les su+1(n)/su(n), 0<=u<=b, et on la divise par le nombre b ; ou par b-1 si a=1 et si n pas premier.
l : plus petit quotient de deux termes consécutifs trouvé dans toute la suite de départ n, hormis le dernier quotient si a=1 et n pas premier (dans ce cas, le dernier quotient n'a pas de sens, car l'avant dernier terme de la suite aliquote est premier et donc le dernier quotient peut être très petit si ce nombre premier est grand).
m : plus grand quotient de deux termes consécutifs trouvé dans toute la suite de départ n.


Exemple

Cette base de données commence ainsi :

[2, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0.5000000000, 0.5000000000, 0.5000000000]
[3, 1, 1, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.3333333333, 0.3333333333, 0.3333333333]
[4, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.7500000000, 0.7500000000, 0.7500000000]
[5, 1, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.2000000000, 0.2000000000, 0.2000000000]
[6, -1, 1, 6, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.000000000, 1.000000000, 1.000000000]
[7, 1, 1, 7, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.1428571429, 0.1428571429, 0.1428571429]
...
...
[276, 0, 491, 276, 1, 30, 0, 164, 55, 0, 0, 1.365056702, 0.5000000000, 2.918415621]
[277, 1, 1, 277, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.003610108303, 0.003610108303, 0.003610108303]
[278, 1, 6, 43, 42, 1, 1, 1, 3, 1, 0, 0.7364917336, 0.5107913669, 1.250000000]
[279, 1, 2, 137, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0.4910394265, 0.4910394265, 0.4910394265]
[280, 1, 15, 41, 31, 3, 1, 3, 6, 2, 0, 0.9314937741, 0.5066079295, 1.571428571]
[281, 1, 1, 281, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.003558718861, 0.003558718861, 0.003558718861]
[282, 1, 16, 163, 2, 1, 1, 11, 0, 4, 0, 1.188064593, 0.1080225678, 1.971428571]
[283, 1, 1, 283, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0.003533568905, 0.003533568905, 0.003533568905]
[284, -2, 2, 284, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1.032778489, 0.7746478873, 1.290909091]
...
...
[306, 0, 144, 276, 2, 1, 0, 136, 2, 0, 0, 1.512782551, 0.8047493404, 2.872578052]
...
...

Grâce à cet exemple, on identifie que les suites aliquotes de départs 6 et 284 aboutissent respectivement sur des chaînes aliquotes de 1 et de 2 maillons.
On identifie aussi par exemple que la suite aliquote de départ 279 aboutit à 1 au bout de 2 itérations par le nombre premier 137 et que c'est seulement la deuxième suite aliquote qui aboutit sur le nombre premier 137.
On identifie que la suite aliquote de départ 280 aboutit à 1 au bout de 15 itérations par le nombre premier 41, que c'est la 31ème qui aboutit à ce nombre premier, qu'il y a trois maximums relatifs pour cette suite aliquote, qu'il y a un seul changement de parité, qu'elle croit avec au maximum 3 termes pairs consécutifs, décroit avec au maximum 6 termes pairs consécutifs, décroit avec au maximum 2 termes impairs consécutifs. La moyenne des coefficients de croissance est d'environ 0.93, le plus grand coefficient de croissance est d'environ 1.57 et le plus petit de 0.5066 (on n'a pas ici compté le coefficient qui serait le plus petit, du dernier terme qui vaut 1 et de l'avant dernier terme qui vaut le nombre premier 41 : 1/41 qui vaudrait environ 0.0244).
On identifie aussi que la suite aliquote de départ 306 est open-end, et qu'elle a rencontré la suite aliquote open-end de départ un entier plus petit qui est 276. Ainsi, les calculs ont été arrêtés à 144 itérations dès que les termes ont dépassé 10^25, les autres données n'ayant pas de sens. Il vaut alors mieux se reporter à la suite aliquote de départ 276.


Les fichiers complémentaires

Pour compléter cette base de données et pour faciliter les calculs, il faut encore posséder trois autres fichiers annexes :
Attention, ces trois exemples ci-dessous ne sont exacts que si l'on a fait tous les calculs jusqu'à n=1000 soit avec L=1000, ils constituent juste un exemple (les fichiers téléchargeables sont valables pour la valeur bien plus grande de L spécifiée plus haut).

Télécharger (download) le fichier de comptage des suites aliquotes aboutissant sur chaques chaînes aliquotes.
Ce fichier commence ainsi :
[[13, 6], [1, 28], [3, 220, 284], [5, 496]]
Si l'on avait fait tout le travail seulement jusqu'à n=1000, cela signifie que sur les 1000 suites aliquotes de départ tous les entiers de 1 à 1000, il y aurait eu 13 suites aliquotes qui tombent sur la chaîne aliquote à un maillon 6, 1 qui tombe sur celle à un maillon 28, 3 qui tombent sur celle à deux maillons (220,284) et 5 qui tombent sur celle à un maillon 496.

Télécharger (download) le fichier de comptage des suites aliquotes rejoignant chaques suites aliquotes open-end.
Ce fichier commence ainsi :
[[4, 276, 111953269160850453359599437882515033017844320410912, 15157230558475091017656396], [2, 552, 112899802254031478334003024122828366076542374030260, 11508637385321435411002524]...
Si l'on avait fait tout le travail jusqu'à n=1000, cela signifie qu'il y aurait 4 suites aliquotes qui ont rencontré la suite open-end qui commence à 276 et 2 qui ont rencontré la suite open-end qui commence à 552. Les deux grands entiers qui suivent dans le tableau sont simplement les premiers entiers supérieurs à 10^25 et à 10^50 que l'on trouve dans les termes de ces suites open-end : on en a besoin pour identifier les rencontres des autres suites.

Télécharger (download) le fichier de comptage des suites aliquotes aboutissant sur chaques nombres premiers.
Ce fichier commence ainsi :
[[78, 3], [48, 7], [28, 11], [21, 13]...
Si l'on avait fait tout le travail jusqu'à n=1000, cela signifie qu'il y aurait 78 suites aliquotes qui aboutissent au nombre premier 3, 48 qui aboutissent au nombre premier 7, 28 qui aboutissent au nombre premier 11 et ainsi de suite... On notera que l'on ne retient pas dans ce fichier, les nombres premiers dont la seule suite aliquote qui les a rejoints est la suite de départ ce nombre premier lui-même. Cela rendrait ce fichier trop volumineux. Par contre si au nombre premier 3 on associe 78, la suite aliquote de départ 3 est bien comptée dans ces 78, car 3 est inférieur à 1000 (limite de travail du programme). Il se peut qu'à un nombre premier p, on ait un 1 associé : cela signifie qu'une suite aliquote de départ n a atteint ce nombre premier p, n étant inférieur à p. La suite aliquote de départ p ne sera comptabilisée comme une suite tombant sur p que quand le programme aura atteint le nombre premier p. Si l'on a fait tourner le programme jusqu'à un entier L, bien entendu, il faudrait en toute rigueur rajouter tous les nombres premiers manquants inférieurs à L dans ce tableau en leur associant 1. Ainsi, dans cet exemple où L=1000, il manque [1,2], [1,5] et bien d'autres...





Dernière modification ou dernière actualisation des résultats calculatoires : 9 juillet 2017